Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
гиперзаряда У. Минимальное число осцилляторов -/Vmim дающее возможность
построить все унитарные мультиплеты с коммутирующими операторами Т, М,
Mz, Тз и Y, равно трем. Именно случай трех осцилляторов (N = 3) и
обсуждается ниже. Отметим вместе с тем, что при N = 4 роль группы SU (3)
играет уже группа SU (4), также обсуждаемая в литературе [325, 337] в
связи с квантовым числом "чарм" и ^-частицами.
Итак, положим N = 3 и введем операторы (а = 1, 2, 3)
а(r) = ~7=- ( + "Vi 5 а?* = -т= ( и? ~ > (2.10)
/2 \ г диу г \ ди?) К '
удовлетворяющие соотношениям
[а* аН] = М"р; [а?, а?] = [а*Г, ар] = 0. (2.11)
Очевидно, что
Lb = S "аь(W + 1); ?т= а "?т (aftfl(r) + 1). (2.12)
a=i a=i
Оператор
та(r) = оМ (2.13)
удовлетворяет коммутационным соотношениям группы U (3):
[Т°*, Tv&] = бруТа6 - б(2.14)
Оператор момента количества движения, связанный с переменными и?,
МЧ - ~ 1 S a" - apa") (2-15)
245
коммутирует со всеми генераторами группы U (3):
[Т^Р, Ми) = 0. (2.16)
Поскольку операторы Т3, Т и У выражаются через операторы Та$ (см. ниже),
соотношение (2.16) обеспечивает коммутацию оператора спина Мц с Тз, Т и
Y.
Каждое решение уравнений (2.7) характеризуется прежде всего главным
квантовым числом п, равным
п = 21 ("? + п2 + nf>- (2-17)
а=1
Если частоты соа одинаковы, то все решения с данным п имеют одинаковую
массу; если же частоты соа разные, то решения с данным п группируются по
различным уровням. Однако все они принадлежат одному и тому же унитарному
мультиплету группы U (9), задаваемому старшим весом (гсОО ООО ООО).
Отсюда вытекает, что и унитарные мультиплеты группы V (3), вообще говоря,
будут содержать состояния с разными массами.
Определим значения спиновых моментов для некоторых нижних уровней. Для
этого мы сначала сузим представление группы U (9) до группы U (3) X U
(3), а затем еще раз сузим полученные представления до группы U (3) X О
(3). Правила первой редукции вытекают из теории групп. Мультиплет с п - 0
есть унитарный синглет с моментом нуль, мультиплет с п = 1 остается
неприводимым и имеет старший вес [(100), (100)]. Мультиплет (200 000 000)
= [(200), (200)] + [(110), (110)]; мультиплет с п =3 имеет содержание
(300 000 000) = [(300), (300)] + [(210), (210)] + [(111), (111)].
Правила последующей редукции выводятся на основе формулы для характеров
неприводимых представлений группы SU (3). Характер Xrmms неприводимого
представления, задаваемого старшим весом (тъ т2), имеет вид
- ХтЛтг (2.18)
X77117712 -
^7712-1
где %т есть характер неприводимого представления группы SU (3) со старшим
весом (т., 0); в то же время Хт содержит все те моменты, которые есть у
уровня трехмерного осциллятора с главным квантовым числом т, т. е.
моменты I = т, I = т - 2, . . . до I = 0 (четное т) или 1 (нечетное т).
Отсюда получаем, что моменты, которые содержатся в представлении (тъ т2),
следует искать по такому правилу: складываем между собой все моменты в
представлениях (тъ 0), (т2, 0) и в представлениях (т2 - 1, 0), (т1 +
1,0), а затем из первой суммы вычитаем вторую. Для октета, таким образом,
присутствуют моменты 2 И 1 (размерность 8).
№
По этому правилу нетрудно получить состав по моментам для любого
мультиплета группы SU (3).
Определим число состояний для главного квантового числа-и. Для нашего
случая п = 3, п X N = 9 и R (0) = 1, R (1) = 9, R (2) = 45, R (3) = 165.
Следовательно, содержание состояний по моменту и мультиплетам группы SU
(3) следующее:
п = 6 = (28,13) + (28,9) + (28,5) + (28,1) + (35,11) +
+ (35,9) + (35,7) + (35,5) + (35,3) + (27,9) + (27,7) + + (27,5) + (27,1)
+ (10,7) + (10,3) + (10,7) + (10,3) + + (8,5) + (8,3) +(1,1).
Здесь использованы обычные обозначения: в правой части в скобках слева
стоит индекс мультиплета группы SU (3), а справа - значение 21 + 1, где I
- момент. Из этих разложений можно видеть, что нижние состояния п = 1 и п
= 2 отвечают кваркам, имеется синглет п - 0, только для п = 3 появляются
октет и декуплет.
Можно дополнительными условиями исключить кварковые решения. Здесь мы
можем указать, например, на две возможности. Наложим на дополнительное
условие [51]
Условие на является точно таким же. Для функций ф (и"), удовлетворяющих
уравнениям (2.7), действие оператора Ьх есть умножение на
Поэтому условие (2.20) означает, что п должно делиться на 3 и, таким
образом, п = 0,3, 6, . . . Тем самым мы отбрасываем "кварковые" состояния
с п = 1 и 2. Однако и в этих условиях остается "лишний" уровень с п == 0.
Если использовать вместо (2.20) условие
то в этом случае допустимые значения п равны 3, 9, 15.
В любом из рассмотренных случаев нас интересует в первую очередь уровень
п = 3, которому отвечают декуплеты со спинами
п = 0 = (0,0);
п = 1 = (3,3);
п = 2 = (6,5) + (6,1) + (3,3);
п = 3 = (10,7)+ (10,3) + (8,5) + (8,3) + (1,1);
(2.19)
3
3
п = 23 (П1 + П2 + Пз)-
[ехр (г | Lx) + ехр (- if Lt) ] Y = 0, (2.21)
247
3 и 1, октеты со спинами 2 и 1 и сйнглет со спином 0 (см. (2.19)). Мы,
