Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. на однородном многообразии, задаваемом стационарной группой вектора
(0, 1, 0, 0). Это та же задача, что и о раз-
242
ложении квазирегулярного представления на однородном многообразии на
неприводимые составляющие. В случае двухполостного гиперболоида
(времениподобный вектор иц, стационарная подгруппа вектора (1, 0, 0, 0))
она была решена в [326]. Для однополостного гиперболоида решение дано в
[334] и подробное применение к рассматриваемой задаче дано в [329].
Обсудим теперь полученный спектр масс. Как видно из формул (1.11), (1-
23), квадрат массы дискретен и каждое значение бесконечнократно вырождено
по числу I и проекции момента на ось z (12). Масса состояния зависит
только от числа /. Теперь перейдем к вопросу об описании полученного
спектра масс на основе представления более широкой некомпактной группы.
Здесь имеется ряд возможностей. Можно пытаться вкладывать группу Лоренца
в более широкие группы; например, группа Лоренца 0(3,1) может быть
вложена в группу де Ситтера О (3,2), а затем в группу 0(4,2), описывающую
динамическую симметрию атома водорода. Для того чтобы реализовать это
вложение, к генераторам группы Лоренца М^.( 1,4) можно добавить
дополнительные генераторы (см. § 6 гл. I), описывающие вращение в
шестимерном пространстве. Тогда реализованное на полиномах на
четырехмерной сфере представление группы О (4,2) можно рассматривать как
приводимое представление группы Лоренца О (3,1). Можно поступить по-
другому, добавив к операторам ajtov - ata^ - M^v, где ап = (иц + д /
<Энц)/}^2, дополнительные операторы а^а + + Вместе с предыдущими
операторами мы получим алгеб-
ру Ли группы U (3,1). Эта алгебра Ли может быть включена в алгебру Ли
группы U (3,2). Таким образом, эти группы можно связать со спектром масс
релятивистского волчка, полученным на осноЕе релятивистского уравнения
Гинзбурга -Тамма.
§ 2. Релятивистские оецилляторные модели
Рассмотрим в данном параграфе динамические симметрии релятивистских
волновых уравнений, основанных на осцилляторных моделях. В последние годы
такие модели интенсивно используются для описания свойств элементарных
частиц (см. работы [335, 336, 51] и обзоры [325, 337]). Нерелятивистский
случай обсужден в [338].
Ниже для частиц с полуцелым спином будут рассматриваться уравнения типа
(см. [51, 325])
д
7в + х + (иnv>.. .)
Т = 0, (2.1)
где Ч*- (а-ц, . . .) является биспинором, на который
действуют
дираковские матрицы у^.
В случае частиц с целым спином мы.будем использовать волновую функцию
'РДсГц, и^х, . . .), являющуюся 4-вектором (индекс /)
24а
и подчиняющуюся уравнению д2
дх^
к2 - L (linv, ...)
Y, = 0. (2.2)
В качестве переменных выберем совокупность 4-векторов ц", где индекс а
отвечает номеру осциллятора и не имеет ничего общего с векторным индексом
ц. Оператор L в (2.1) и (2.2) выбирается в виде
N
\ 1
Z Z I ~ \ я,,
ьцииц
+ (2-3)
где, как и везде в других местах, подразумевается суммирование по
векторному индексу ц = 1, 2, 3,4. Использование выражения осцилляторного
типа для L диктуется связью с унитарной группой SU (3).
В уравнениях (2.1) и (2.2) переменные разделяются, и, таким образом, их
решения можно записать в виде
Т = Т (яДср (и"); Тj = Тj (^)ф (""), (2.4)
где под ф (м") понимается произведение ф (м").
а, В
Поскольку координаты = ш" являются мнимыми, спектр оператора L бесконечно
вырожден [51]. В этой связи достаточно использовать дополнительное
условие на биспинор Т" или вектор Wj [339]:
<2'5)
4("J-4)Ti"0, <2'6)
положив в (2.4) Т" (яц) = А ехр [-i (Et - рт)]\ г = (хг, х2,
х3);
Хц = it, Н = с = 1. Тогда в системе покоя (при р = 0; при этом
считаем, что Е Ф 0) уравнения для ф (н") принимают вид
(L - X) Ф (и") = 0; - А\ф(иа) = 0, (2.7)
' 4'
где в случае уравнения (2.1) Е2 = (х 4- к) 2, а для уравнения
(2.2) Е2 = х2 -[- X. Собственные значения для масс покоя |
Е | =
= М соответственно таковы:
Мь = и + 21 ""ь + 1); (2.8)
СЬ=1
С = И2 4- 21 "от (П1 + ""+"? 4- l)r (2l9)
344
Здесь гсЬ2, з = 0, 1,2,.. коэффициенты Ьа (2.3) обозначены через соаЬ
(барионы) и (Dam (мезоны), поскольку размерность Ьа в обоих случаях,
конечно, различна. Роль условий (2.5), (2.6) состоит в том, что они
приводят к необходимости полагать = О (это, разумеется, уже учтено в
(2.8), (2.9)).
Легко видеть, что собственные функции системы (2.7) реализуют
неприводимые представления группы U (3N), задаваемые старшим весом (N, 0,
. . .,0), где число нулей равно 3N - 1. В этой связи сразу же ясно, что
использовать один осциллятор (N = 1) мы не можем - этому случаю отвечают
старшие веса (N, 0, 0); в то же время октету соответствует старший вес
(2, 1, 0). Для двух осцилляторов (N = 2) уже можно построить все
необходимые унитарные мультиплеты [51, 325]. Однако оператор момента
количества движения оказывается не коммутирующим с генераторами Т3 и Y
группы SU (3). Поэтому, очевидно, нельзя построить функции, являющиеся
собственными для всех трех операторов: внутреннего спина М, изоспина Т и
