Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
однако, еще не учли спина, связанного с "центром масс" частиц. Этот спин
в случае уравнения (2.1) равен V2, а для уравнения
(2.2) равен 1. В системе покоя можно обычным образом складывать
"орбитальный спиновый момент", о котором шла речь выше (момент Mtj,
связанный с переменными н"), и собственно спиновый момент (матрицы в
(2.1), индекс j в (2.2)). Поступая таким образом, приходим к заключению,
что в состоянии п = 3 для ба-рионов имеются декуплеты со спинами (речь
идет о суммарном спине s) V2, 3/2, 5/2 и 7/2, октеты со спинами V2, 3/2 и
5/2 и сйнглет со спином 1/2. Для мезонов имеются декуплеты со спинами 0,
1, 2, 2, 3, 4, октеты с суммарным спином 0, 1, 1, 2, 2, 3 и сйнглет со
спином 1 (когда дважды указывается один и тот же спин, это означает, что
имеются два разных решения, или, точнее, две группы решений с тем же
спином).
Операторы гиперзаряда У, проекции изоспина 7'3, квадрата изоспина Г2,
"орбитального спина" Мг и М2 имеют вид (см. (2.13))
у = _2/3(7'11 - Г33) + 1/S(T22 - Г33);
Т3 = -Д2(Г22 _ Г33);
Т2 = V2 (Т12Т21 + Т21Т12) + Tl; (2.22)
з
Mz = -i 1j - a"fa");
a=i
M2 = M\2 + Mt3 + Mlv
Все эти операторы коммутируют.
Перейдем к вопросу о массах частиц, основываясь на формулах (2.8) и
(2.9), которые содержат по три параметра - частоты
0)ab ИЛИ СОсьш (^ " 1? 2, 3).
В рассматриваемом приближении, когда используется выражение (2.3) для
операторов массы L, массы частиц октета и декуплета, имеющих одинаковые
квантовые числа, совпадают и не зависят от спина. Если частоты аа
различны, то массы некоторых частиц внутри унитарных мультиплетов
различаются между собой.
Отметим, что мультиплеты с более высокой размерностью, например 27-плет,
появляются при п = 6, 9, ... и имеют более высокие массы.
Мы видим, что можно построить систему релятивистски-инва-риантных
уравнений, которая в качестве решений имеет состояния (мультиплеты),
связанные с группой SU (3).
Обсудим теперь вопрос о динамической симметрии рассматриваемой модели.
Если не накладывать дополнительных условий Маркова [339, 340] (2.5),
(2.6), то оператор (2.3) обладает некомпактной группой инвариантности и
бесконечнократным вырождением уровней, описываемым груцпой U (3N, N)
(?7(9,3)).
248
Генераторы этой группы имеют следующий вид: _1_
2"
Если же учесть дополнительное условие (2.5), то группа инвариантности
станет компактной группой U (9). Весь спектр масс с учетом дополнительных
условий (2.5) может быть свнзан в одно неприводимое представление
некомпактной группы U (9,1). Ее генераторы имеют вид
Т\? = а^аа№ (а, р, i, / = 1,2, 3);
3 ^
V п л • Т10
агаага^ * га
г, а=1
т\0 ' ?
10 ¦
Марков предложил [340] уравнение следующего вида:
& , , t , о
ЬЦЬМ- "Т" ^---
ти
Vn
(2.23)
Y = 0.
(2.24)
(Обозначении - из работы [340].) В системе покоя, в которой импульсы
центра масс к = 0, массовый оператор принимает следующую простую форму:
I /V2 I Е2 I Е2 I ?2 ^2 ^2 \ /О ОГ\
^m0 + a(Z0 + l1 + l2 + l3- - -- - - - --J. (2.2 о)
т. =
Рассмотрим динамическую симметрию уравнения (2.24). Легко увидеть, что
операторы
T\iy = у - щ-j + щ-)] (Г' v = 0,1,2, 3);
- */"
+ + (2-26)
г... -4) (5.+ 4;)]
связывают состояния разных масс в одно неприводимое представление
некомпактной группы U (4,1). Группой инвариантности массового оператора
(2.25) является группа U (4). Операторы Казимира для представления (2.26)
могут быть найдены и сводятся к числам. Другое уравнение, рассмотренное
Марковым [340], имеет вид
Vn
}jY = 0. (2.27)
Интересно, что спектр масс, связанный с этим уравнением, является
спектром трехмерного осциллятора. В связи с этим можно
249
построить динамическую симметрию уравнения (2.27). Группа симметрии
массового оператора
нг = нг0 + 2а ^ + ^ + (2.28)
является группой U (3).
Некомпактная группа U (3, 1), генераторы которой строятся аналогично
генераторам (2.23), связывает все состояния дискретного спектра массового
оператора в одно неприводимое представление, аналогично рассмотренному в
первой главе случаю атома водорода. Таким образом, мы видим, что многие
релятивистские модели, описываемые релятивистскими волновыми уравнениями,
обладают динамическими группами симметрии, аналогично кванто-
вомехаиическим уравнениям.
§ 3: Уравнение Майорана
В настоящем параграфе рассмотрим еще один тип релятивистских уравнений с
точки зрения динамических симметрий, а именно уравнение Майорана [322].
Прежде всего кратко обсудим возможные способы обобщения релятивистского
уравнения Дирака.
Релятивистские уравнения со спектром масс обычно представляют собой то
или иное обобщение уравнений Дирака либо Клейна - Гордона:
TuTV'F = mxY, ц = 0, 1, 2, 3; (3.1)
ГгГнФ = щ2Ф> р = 0, 1, 2, 3. (3.2)
(Мы работаем в системе единиц с Л = с = 1.) По дважды повторяющимся
греческим индексам подразумевается суммирование от О до 3 с учетом
псевдоевклидовой метрики Минковского. Скалярное произведение двух 4-
векторов задается формулой ab = =
= а0Ь0 - аЬ. Операторы импульса имеют вид р0 = idldt, р = = -id/d.x. В
