Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
нулевым импульсом pz = 0 требует особого рассмотрения, поскольку на
состояниях с п1 = 0 операторы Л, С обращаются в нуль. Однако можно
сконструировать и в этом случае алгебру U (2, 1), представление которой
реализуется на данном пространстве состояний. Дело в том, что легко
построить штрихованные операторы с помощью предельного перехода. Хотя Л и
С обращаются в нуль, мы имеем при построении решений произведения ЛЛ-1 и
СС-1, которые заменяем единицей. На этом основании легко доопределить
штрихованные операторы там, где не существует обратных операторов для Л и
С. Рассмотрим пространство D состояний с фиксированными pz. Построим
операторы а, М, b, М по правилу (5.13). Из этих операторов построим
группу U (2,1) по формулам (7.26) гл. I, где вместо операторов а, Ъ, М, М
поставим операторы а, д, М, М. Ввиду того, что правило сопоставления
операторов (5.13) не нарушает коммутационных соотношений, можно сделать
следующий вывод.
1*14 В пространстве состояний релятивистской заряженной частицы со спином
У2 в однородном магнитном поле с фиксированными pz, sz и фиксированным
знаком энергии реализуется одно бесконечномерное унитарное неприводимое
представление динамической группы U (2, 1), задаваемое операторами
Казимира (7.28) гл. I. На подпространстве состояний с заданной энергией
Dni и фиксированным импульсом pz в случае щ 0 реализуется неприводимое
представление группы симметрии гамильтониана U (1,1) (g) SU (2) с
операторами Казимира (7.30) гл. I. На состояниях - аналогах состояний
(7.21) гл. I - реализуется спинорное представление спиральной группы SU
(2).
Глава IX
Когерентные состояния и функции Грина релятивистских квадратичных систем
§ 1. Движение релятивистской заряженной частицы в однородном стационарном
электромагнитном поле
Волновая функция, описывающая состояние релятивистской заряженной частицы
со спином нуль, движущейся в постоянных электрическом Е и магнитном Н
полях, удовлетворяет уравнению Клейна - Гордона
[(/# - еА")2 - т2] ? = 0. (1.1)
Далее (как и прежде) используем систему единиц такую, что Л = = с = 1.
Четырехмерный векторный потенциал электромагнитного поля можно выбрать в
виде
А" =(-Ег,Ч2[Н Хг]), р = 0, 1,2, 3, (1.2)
а оператор импульса полагаем равным р^ = id^ - (id/dt, - i\).
Будем использовать стандартные обозначения и сокращения (см. [351]) для
релятивистски-инвариантной записи. Метрический тензор полагаем равным g°°
= -ф11 = -g22 = -g33 = 1; скалярное произведение двух четырехмерных
векторов будем записывать просто как аЪ =
Функция Грина уравнения Клейна - Гордона удовлетворяет уравнению
(л^Лц - т2) G (х", х') = б (х!' - х'), (1-3)
где - еА
Для решения уравнений (1.1) и (1.3) Фоком [352, 353] был разработан метод
собственного времени, в дальнейшем интенсивно использовавшийся в работах
Намбу [355], Фейнмана [86] и Швин-гера [354], где с его помощью была
найдена функция Грина.
Решение уравнения (1.1) связывается с помощью интегрального представления
= -|т^ехр (- l-^')q>(x,s)ds (1,4)
с функцией ф (х, s), которая удовлетворяет уравнению Шредингера
* Й = Зе = - (1-5)
261
Параметр s играет при этом роль времени. В [353] Фок показал,
рассматривая квазиклассический предел, что параметр s совпадает с
собственным временем частицы. Используя представление собственного
времени, можно написать аналогичное соотношение для функции G (х", х'):
оо
G [х, х) = 2^ ехр - - (т2 - ге) sj g(x", х, s)ds, (1.6)
где ядро
является функцией Грина уравнения Шредингера
д
(i - ж) g(x",x',s) = id(s)b(x"- х).
(1.7)
Мнимая добавка к массе - ге, е ]> 0, в уравнении (1.6) означает, что G
(х", х') является причинной функцией Грина и содержит состояния с
положительной энергией при ()>Оис отрицательной энергией при t < 0.
Уравнение Шредингера (1.5) в случае постоянных и однородных внешних полей
Е и Н обладает гамильтонианом, являющимся квадратичной формой по
отношению к операторам координат х^ и импульсов р^. Для его исследования
можно применить методы, развитые ранее (в гл. III). Для согласования с
изложенной там схемой расчета введем координаты xj (j = 1, 2, 3, 4)
вместо х, у, z, t и соответствующие канонические импульсы ,р =- гу, р4 -=
-ро = -id/dt. Электрическое поле имеет компоненты Е = = (Е1, Е2, Ез), а
магнитное поле считаем направленным вдоль оси z. Далее следуем работам
J366, 356].
Гамильтониан (1.5) может быть записан в форме (4.1) гл. III.
Так как в (1.5) нет линейных членов, то вектор С В имеет вид
О, а матрица
-1
Ь2 Ьч -
О
-Х/2Я
о
Ех
Чг"
О
о
Е2
о
о
о
Ея
(1.8)
Ъц - 53&А-
Система уравнений (5.26) гл. III, определяющая интегралы движения, может
быть легко решена. Явное выражение для матрицы Л дается формулами
7i = Et + b2R; = Ъ2Rb462;
%3 = - bj^R; 74 = Et - biRb^,
где
R = W 1 [exp (sIT) - Z?4];
0 -I H
W = b2- bib2bi = q Ex
W = -WWbp, -H 0 Ex
0 0 e2
0 0 E3
E2 E3 0
(1.9)
262
Матрица W совпадает с тензором электромагнитного поля F& и не зависит от
выбора калибровки. Подставляя матрицы (1.9) в формулу (5.36) гл. III,
