Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. являются генераторами поворотов четырехмерного пространства. Тогда
величина
является инвариантом и очевидным образом обобщает гамильтониан
нерелятивистского волчка (1.2) на релятивистский случай. Теперь можно
обобщить уравнение Дирака или Клейна - Гордона, считая волновую функцию
зависящей от координат "центра масс" системы х^ и внутренней переменной
иТаким образом, получаем уравнение Гинзбурга - Тамма:
Константа р аналогична моменту инерции J в формуле (1.2), а величина т2 -
постоянная. Чтобы решить уравнение (1.6), заметим, что переменные щ и в
этом случае разделяются, а волновая функция Т может быть факторизована:
При этом функция ф (иц) является собственной для оператора Lx
Как обычно, состояние с определенной массой отождествляется С решением
этого уравнения следующего вида:
Это означает переход в систему покоя (р = 0), и мы имеем соотношение для
массы частицы
(1.3)
(1.5)
qx qx тЪ + "jr ^ ?*(Хр, иу) - 0.
(1.6)
? (Яц, ^ц) = Т (жД Ф(иц).
(1.7)
Lx = М^Мру/2; ЬХФ = ^Ф. Тогда для функции Т (яД имеем соотношение (? - т2
+ Ы = 0.
(1.8)
(1,9)
(1.10)
ml = т2 - Яхр.
(1.11)
240
Таким образом, спектр масс, описываемый уравнением Гинзбурга - Тамма,
задается собственным значением инвариантного оператора Ьх. В работе
Гинзбурга и Тамма [323] четырехвектор Кц выбирался
пространственноподобным. Этот выбор обусловливался желанием иметь
дискретный спектр значений A,lt а тем самым и дискретный спектр масс
(1.11). Легко показать, переходя к сферическим координатам на
однополостном гиперболоиде
иа = г sh X; и2 = г ch X sin 0 sin ср; (1-12)
иг = г ch у sin 0 cos ср; u3 = г ch у cos О,
что оператор Ьх задается в дифференциальной форме следующим выражением:
<1ЛЗ>
Здесь оператор L имеет вид
L (сЬ2* ду) + ?5*7 А0'ф'
где Ае1ф - угловая часть трехмерного оператора Лапласа - равна . 19/.
Q 0 \ . 1 92 ,. . г \
0>ф " sTn0 90 (Slr:1 9б) + sin2! 9ф2 • (I-15)
Если искать только те решения уравнения на собственные значения (1.8),
которые обладают конечной нормой, т. е. квадратично-интегрируемые на
однополостном гиперболоиде, то получится дискретный спектр Хх.
Действительно, переменные у, 0 и ф разделяются, т. е. функцию Ф можно
факторизовать:
Ф(Х, 0, Ф) = У/,т(0, Ф)Д(х). (1.16)
Здесь У;,т (0, ф) - обычные сферические функции, a R (у) удовлетворяют
уравнению
[даг1^Хт)+-^ + *]ЛЙ')-а (1Л7)
Нормированным решением этого уравнения являются полиномы Лежандра jPnth
у). Здесь j - целое число. Действительно, введем новую переменную и новую
функцию:
z = thx; Р = /1^ЛЯ. (1.18)
Тогда уравнение (1.17) перепишется в следующем виде:
X\-z*)%-2zd?+l{l + \)P+\±±P = <). (1.19)
Это стандартное уравнение для функции Лежандра [328]. Оно имеет в
качестве нормируемых решений полиномы Лежандра :P\(z). Здесь I и / -
целые числа.. Полиномы нормированы еледую-
. 241
Щим образом [328]:
(1.20)
-1
Собственное значение к дискретно и связано с числом /:
>0 = -? + 1, / = 1, 2, 3, . . . (1.21)
При этом число I пробегает значения
I = /, j + 1, / + 2, . . . (1.22)
Если же взять времениподобпый вектор Щх, то, как показано
в работе [323], у уравпения на собственные значения массы
не
будет нормируемых решений и будет только непрерывный спектр масс. В
работе [3291 уточняется данное рассмотрение и учитывается также
непрерывный кусок спектра оператора Lv Дело в том, что этот оператор
подобен гамильтониану атома водорода, обладающего как непрерывным, так и
дискретным спектром энергий. Собственные функции дискретного спектра
нормируемы, собственные функции непрерывного спектра ненормируемы. Но,
если ставить задачу таким образом, чтобы работать в гильбертовом
пространстве квадратично-интегрируемых па однополостпом гиперболоиде
функций, нужно учитывать весь спектр, как дискретный, так и непрерывный
его куски, чтобы иметь полную в этом пространстве систему функций.
Безусловно, можно выбрать из этого пространства подпространство, в
котором будет полной система функций, принадлежащих только дискретному
спектру. Особенно ясен результат, полученный Гинзбургом и Таммом [323],
на групповом языке. Дело в том, что массовый оператор Lu по существу,
является оператором Казимира С1 (см. [330]), что отмечалось и в [323].
Второй оператор Казимира С2 для данной реализации представления группы
Лоренца равен нулю. Спектр операторов Казимира для неприводимых
представлений группы Лоренца хорошо известен (см., например, [326, 50], а
также [332, 333]):
Сх = -(/ - 1) + а2; С2 = - а/. (1.23)
Здесь / - целое или полуцелое, а - положительное действительное число. В
реализации (1.6) на однополостном гиперболоиде, если требовать
квадратичной интегрируемости собственных функций оператора С1, число а =
0, / - целое число. Это показано в [323]. Можно этот результат
сформулировать и по-другому. Поскольку вектор Иц пространственноподобен,
то задача о собственных значениях оператора Казимира Сх эквивалентна
задаче о построении полной системы функций на однополостном гиперболоиде,
