Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 94

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 123 >> Следующая

уравнении Дирака матрицы имеют стандартный вид

О
-I
У =
I 0

(3.3)
где а - обычные матрицы Паули:
аг =
10 -41
i О
1 01 0 -1
(3.4)
а I - двухрядная единичная матрица. Уравнения (3.1), (3.2) записаны в
таком виде, что масса покоя т играет роль собственного значения
оператора, стоящего в левой стороне равенства.
250
Основное свойство или требование к релятивистскому уравнению заключается
в том, чтобы его вид не менялся при переходе из одной инерциальной
системы координат в другую. Это условие выполняется благодаря тому, что
масса т является скаляром (инвариантна при переходах в различные
инерциальные системы координат), а матрицы преобразуются как 4-векторы.
Действительно, так как скалярное произведение двух 4-векторов является
скаляром, выражение Уцр^ не меняется при переходе из одной инерциальной
системы координат в другую. Это утверждение эквивалентно тому, что
волновая функция преобразуется по некоторому представлению группы
Лоренца. Мы напомнили хорошо известные свойства уравнений Дирака и Клейна
- Гордона, для того чтобы подойти к вопросу о путях обобщения этих
уравнений. Что фактически обеспечивает нам релятивистскую инвариантность
этих уравнений? Во-первых, скалярпость массы, во-вторых, то, что импульс
рц множится скалярно на 4-вектор. При любых обобщениях уравнений Дирака и
Клейна - Гордона пользуются этими простыми соображениями.
Иногда вводят другие 4-векторы Га, заменяя ими матрицы Дирака у^. Если
эти векторы являются конечномерными матрицами, мы имеем
конечнокомпонентные релятивистские уравнения [332, 50]. Если же эти
векторы являются бесконечномерными матрицами, мы имеем
бесконечнокомпонеитные уравнения (см. [341]). Можно поступать и по-
другому, а именно ввести некоторый набор внутренних переменных векторов
и"(а = 1, . . .,N). Эти переменные описывают в каком-то смысле внутреннюю
структуру элементарных частиц. А затем массу в уравнении Дирака или
Клейна - Гордона заменить на скалярный оператор, зависящий от введенных
внутренних переменных. Такой способ построения релятивистских уравнений и
был предложен в работе Гинзбурга и Тамма [323]. Конечно, не обязательно
использовать только 4-векторы. Можно также использовать любые
ковариантные величины, например тензоры (см. обсуждение этого вопроса в
статье Гинзбурга [324]). Внутренние переменные можно вводить не только в
оператор массы, но и составлять инварианты, в которые входят также и
переменные x[L и (см. [323, 324, 339, 340]).
Именно описанным образом и строятся все предлагавшиеся до настоящего
времени релятивистские уравнения со спектром масс. Таким образом,
технически проблема сводится к подбору 4-векто-ров Гц или скаляров т (иД.
Конечно, выбор этих величин очень широк и требуются дополнительные
соображения, ограничивающие этот выбор. Подчеркнем только, что любое
условие на волновую функцию, наложенное с помощью любого скалярного
оператора, подойдет в качестве релятивистского уравнения с точки зрения
инвариантности при переходе из одной системы координат в другую.
Поскольку вопрос о поиске релятивистских уравнений часто сводится к
поиску операторов 4-векторов, рассмотрим подробнее свойства этих величин.
251
Бесконечно малые преобразования группы Лоренца удобно изображать
следующей антисимметричной матрицей:
Мрх =
0 Ni N2
-TVi 0 M3 ¦ -M,
-n2 -М" 0 Ml
-N3 M2 - 0
р, v = 0,1,2,3.
Операторы М отвечают бесконечно малым поворотам обычного трехмерного
пространства, а операторы Ж - поворотам между осью времени и осями х, у,
z. Операторы Мудовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли группы
О (3,1) (группы линейных преобразований, сохраняющих интервал t2 - ж2):
[M,v, Мра\ - i (g\pMpa "Ь gpcMvp - g\aMyф gypMxa), (3.5)
где матрица имеет вид
?|Jv
........
!
0-1 0 0 0-1
(3.6)
(3.7)
Коммутационные соотношения (3.5) можно переписать с помощью трехмерных
векторов М и Ж:
[Mt, Мк] = ieiklMi; [Mi, Жк] - ieikiNi;
[TV,, TVfc] = -iEiklMi.
По определению 4-вектором называется оператор Гу, удовлетворяющий
коммутационным соотношениям
[М\р, Tv] = г (gnvl\ - gvaJV). (3-8)
Соотношения (3.4) - (3.8) написаны абстрактно. Под операторами можно
понимать матрицы из любых представлений группы Лоренца, в частности
неприводимых. Соответственно и 4-векторы Tv будут являться матрицами
линейных операторов, действующих в пространстве представления.
Рассмотрим теперь подробно уравнение Майорана. Хотя это уравнение и не
является подходящим для описания свойств реальных элементарных частиц,
оно является простой и удобной моделью, на которой можно
продемонстрировать многие особенности бесконечнокомпонентных полей. Это
уравнение изучалось в работах [342-347]. В этом случае вектор Tv
выбирается некоторым вполне определенным образом. А именно
рассматривается конкретное представление группы Лоренца. В этом
представлении операторы М ж Ж реализуются с помощью бозонных операторов
рождения и уничтожения или с помощью некоторого чисто вспомогательного
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed