Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
+ V2 (r) (?4) [112 (- кае^) + щ (*ae^2) - к^)], со' = cico/rf^-
Волновой вектор кя плоской волны является собственным вектором этого
тензора: ,fap№ = fka.
В специальной системе координат, где базисные векторы имеют вид
к = (1, 0, 0, 1); q = V2(l, 0, 0, -1); eW = (0, 1, 0, 0); eW = (0,
0, 1, 0),
электрическое Е и магнитное Н ноля равны
/ 1k J/w' (t - z)\ /V2 М' 0 -z) A
J? = I - V2 xa>' (t - 2) ; -H" = v2 3/w' (t - z) I (2.3a)
\ f J \ (r)('~z) У
Используя (2.3a), находим следующие выражения для инвариантов:
Н* - Е2 = со2 - /2; Н Е = со/, (2.36)
где
со = 2-/. {Я2 - Е* + [(Н2 - J?2)2 + 4(Л-JT)a]V.}'/.;
/ = 2"'/. {Л2 - Л2 + [(Л2 - Л2)2 + 4 (Л-Л)2]*/.}*/..
Уравнение Клейна - Гордона (1.1), описывающее движение заряженной частицы
в поле с потенциалом -f- а^, после введения собственного времени s
описывается гамильтонианом Ж, который в переменных (2.1) приобретает вид
Ж = Ж12 + 36м, (2.4)
где
3^34 = -Ез^В + */2/ (1I4E4 + I4II4);
^12 = 1U Ui + 1/2В2со (|4) - -4i (I4)]2 + V2[|2 - V2II1(r) (U)-
-А2 (|4)]2.
Этот гамильтониан, вообще говоря, не является квадратичным по отношению к
оператору |4. Однако задача может быть сведена к квадратичному случаю.
Для того чтобы показать это, рассмотрим вначале гамильтониан Ж3и,-
Этот гамильтониан является
квадратичным и может быть представлен в виде (5.22) гл. III,
где полагаем вектор с равным нулю, а матрица В имеет только два ненулевых
блока Ъ2 и b3 = b2 (fr4 = Ь4 = 0):
Матричные элементы Л (s) легко вычисляются из уравнений
(5.26) гл. III:
= ^у, X4=Ii1; К2 = Хз = 0; det = ef$. (2.6)
Следовательно, система с гамильтонианом ff(3i обладает следующими
интегралами движения:
1з = Ез! I* = -г (1 - efs) Ез +
! (2-7)
J3 = Цз + j (! - e~/s)il4; /4 = e-/sr]4.
Поскольку оператор /3 не зависит от собственного времени, он является
интегралом движения и для уравнения Клейна - Гордона. Вторым таким
геометрическим интегралом является оператор
J = J\ + fJ3 = П4 + /Пз = ЯР - кх. (2.8)
Аналогичные интегралы движения были найдены в [369].
Ядро функции Грина g3i (s), отвечающей квадратичному гамильтониану Ж3\,
легко находится с помощью общей схемы, изложенной в гл. III, путем
подстановки в общие формулы явного вида интегралов (2.7). Наиболее
удобным представлением для g34 (s) оказывается ^-представление, в котором
она принимает очень простой вид. Согласно уравнениям (5.34) гл. III
находим
g3i (Ез, U', h, h\ s) = e~*s/2b (?3 - I3) b (|4 - he~is - у (1 - e~/s)
I3).
(2.9)
Гамильтониан ^34 имеет два интеграла движения /3, /4, которые являются
линейными комбинациями только операторов ?3 и |4. Именно это
обстоятельство, которое является следствием вырождения матрицы В
гамильтониана Жз*, позволяет решить задачу точно. Интегралы /3 и /4
оказываются интегралами движения не только системы с гамильтонианом Жз4,
но также системы с полным гамильтонианом Ж = Ж\2 + Жзи, так как
гамильтониан Жц не содержит операторов т|3 и т|4. Поскольку операторы /3
и /4 - интегралы движения полного уравнения (1.1), то решение этого
уравнения естественно искать в том представлении, где они диа-гональны.
Учитывая это обстоятельство, задачу можно свести к случаю нестационарного
квадратичного гамильтониана, если подставить всюду в оператор Ж12 вместо
оператора |4 его выражение через s и интегралы движения /3 и /4 полного
гамильтониана Ж = Жц + Жз 4-
Обозначим через Ж\2 гамильтониан, который получается из Ж\2 заменой
оператора |4 на с-числовую функцию:
X (/з, /4; s) = у (1 - ert>) 13 + e~1*h. (2.10)
272
(В дальнейшем тильда над буквой всюду будет обозначать замену I4 -> x(s)-
) Гамильтониан является нестационарным квадратичным гамильтонианом и
допускает представление в виде формулы
(5.22) гл. III.
Интегралы движения уравнения Шредингера с гамильтонианом Жхъ можно найти
либо по общим формулам гл. III, либо взять непосредственно из [366, 356]:
h Ч (s) D - ёх (s) D 61
I2 ?2
Jl %
J2 - H (*) D to(s)D %
(2.11а)
где матрица D (s) равна D(s) =
cos fi (s) - sin fi (s) Ij sinfi(.s) cos fi (5) I
Q (s) =- jj о) (t) dx, (2.116)
а вектор Д
A =
6(tm)
6<a>
S2 fifi (ei sin fi) - ЛУ -fi (64 cos Q)
¦ S2 fifi (ei cos fi) - fifi (ex sin Q)
d d
Si -jfi (e2 cos fi) - 12 fifi (e2 sin fi)
d
(2.11b)
Si -jfi (e2 sin fi) + Яг fifi (e2 cos fi)
Функции ex (s) и e2 (s) удовлетворяют осцилляторному уравнению
ё + 52 (s) е/4 = 0 (2.12а)
и начальным условиям
ех(0) = е2(0) = 1, fex (0) = е2 (0) = 0. (2.126)
Отметим, что интегралы (2.11а) являются каноническими переменными [Ij,
Jk] = -i8jk.
Зная интегралы движения, легко получить и функцию Грина гамильтониана Ж\2
по общим формулам (5.35) гл. III. Она имеет следующий вид:
?ia(if. if" ") = [2л/еа(s)]_1 ехр {3^ НгЛ"2 + е^'2-
- 2 cos Qrfrf + 2 sin Q (т^ц' - ц' ц[)] + ~ rf/Г162 -
S
- Ш (&1 + 62) + 62 + i ^ j^6i62---Гр (^1 + -^2) J I
(2-13)
о
273
где т] и 8/с - двумерные векторы с координатами
к = 1,2.
Ядро функции Грина g (s), отвечающей полному гамильтониану, можно
представить в виде g (s) = gl2 (s) g 34 (s), где g34 (s) - функция Грина
