Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
[А, АЦ = [В, Ж] = 1; U, В] = [А, Ж] = 0. (2.25)
Собственные функции фа3 (s) интегралов движения А и В, удовлетворяющие
уравнению Шредингера с гамильтонианом 36ц, являются когерентными
состояниями в собственном времени. Явный вид нормированных состояний фа3
следующий: ЙЯ
фар (Ль Ла, S) = (ле2)_'/! ехр | z |2 + -±-[е~*аг* (а - ЬА) -f
+ (Р - 6В)] -^ (а - ЬА) (Р - 6В) + аб! + рб? -
S
- i J |jm (ЬАЬ1+ ЬвЬ*в) + 1- (%1 + Л|)] dt -
-4-(М2+|р|2+1м2+1М2)}, (2.26)
где z = т|4 ir|2; аир - собственные числа A (s) и В (s) соот-
ветственно. Если со = const, то эта формула упрощается (6В = 0):
фар (Ль Л2, S) = (~)'ы ехр {----^------|-JZ|2+ X
X [e~tasz* (а - 6а) + Pz] - |3e-i(OS (а - ЬА) + аб* -
S
- г 5 [im (бАб1)+ 4- (Л! + Я|)] dt - 4- (| а|2+ | Р |2 + | 6а|2)} ,
(2.27)
где
S
ЬА = j/"-y ^ ei(0T (h (т) -t- i 42 (t)) dx.
Решение полного уравнения (1.5) равно ф (s) = g34 (s) фа3(х). Чтобы
получить решение уравнения Клейна - Гордона, нужно подставить ф (s) в
интеграл (1.4) и выбрать такой контур интегрирования, чтобы разность
значений функции ф (s) ехр (- im2s/2) на концах контура обращалась в
нульП
В случае функции ф (s), определяемой формулами (2.9), (2.26),
(2.27), ситуация проще: при s= -оо функция gu (s) равна нулю из-за
наличия дельта-функции, a g34 (+ оо) = 0 благодаря множителю (при* /
> 0; при / <^ 0 - наоборот). Поэтому
интеграл (1.4) можно вычислять вдоль вещественной' оси от -оо до + со. В
результате имеем следующее1 решение" уравнения Клейна - Гордона (по |3
проделано преобразование Фурье, чтобы получить решение в координатном
представлении) [356]:
'F г,"р (Ль Ла, Лз, Ь.) = 10 (и) ехр (гпз^з + -Щ- In н) х
ХФоЭ^ь Ла-' - -j-ln и) • (2-28)
277
Это решение уравнения Клейна - Гордона является собственной функцией
операторов /3, А о и В0 с собственными значениями /3, а, р, причем А0 и
В0 получаются из A (s) и В (s) (2.23), (2.22) заменой параметра s
оператором (-1//) In и (|4, /3, /4). Операторы i0 и S0 удовлетворяют
соотношениям (2.25) при условии и 0. Поэтому функция (2.28) является
когерентным состоянием и обладает всеми его свойствами. Когерентные
состояния для уравнений Клейна - Гордона и Дирака строились также (при со
= const) в работах [366 - 368]. Полученные в них результаты сводятся к
(2.28).
Фактически формула (2.28) является частным случаем общей формулы для
когерентных состояний квадратичных систем, найденной ранее в работах [84,
104], и получается путем подстановки в общую формулу конкретных значений
матриц и векторов, определяющих интегралы движения (2.22), (2.23). В
случае / = 0
формула (2.28) переходит в следующую:
'КГзоф (Ль Л-2, Лз, Ы =
(2л)~'/г /. r im2 Е.4 - /4 \ / Е.4 - 1г\ /о
= -Vrfl- ехР(1Т1^з - -2-----------) Фсф (ль Л2, --) • (2.29)
Параметр /4 соответствует произволу в выборе начала отсчета координат.
Решения, отвечающие /3 0, описывают частицы, а
решения с /3 0 - античастицы.
Глава X
Матричные элементы представлений групп динамической симметрии
§ 1. Матричные элементы преобразования Боголюбова и переходы между
уровнями Ландау в нестационарном магнитном поле
Для диагонализации гамильтониана Ж вида [375]
ит . 1 rir / fc2 , un \ . -г , -г ,
+ T2jLl2^"r~)^fcfl,' ' а~ка~к) +
2V _____
кт^о
¦ UN . -f -f , \
Н----у- \4kd-k 4" flfcH-k)
Боголюбов [376] и Валатин [377] рассмотрели каноническое преобразование
Бозе операторов рождения и уничтожения at, ак, удовлетворяющих
стандартным коммутационным соотношениям
-Г -Г -Г
[Пк, Нк'] - 0, [Нк, Нк'] - [^к, Пк'] - б/с, к')
вида
Ьк =:: НкНк 4~ ^кН_к! ^к ^к ~ Б Нк ^ H_ki ^к " V-кз - f t .
(1-1)
^к - Н'кПк "I- Vkd-ki Mk - chTk) ^к - ЗЙТк,
где параметр Тк выбирается из условия диагонализации гамильтониана Ж
[375, 378].
Наборы фоковских состояний
I "г, "2>а = К!ге2!)-1/2 (a?)n'(afk)n2 | 0, 0>а
И
| лгь пг2>ь = (m1!m2!)"'/!(^)m- {blk)m* | 0, 0>ь
связаны между собой оператором S = ехр [тк (ака_к-а1а1к)]:
| ml5 пг2>ь = 5 | "!, ге2>а, (1.2)
матричные элементы которого обозначим как
$т,, т,\п,, п2 = I reli Уа = а(тIt w2 I \ Tlu П2Уа. (1-3)
279
Соотношения (1.2), (1.3) вытекают из
bk = SakS*\ bt = SaiS(1.4)
Отметим, что в задаче о движении заряженной частицы в переменном по
времени магнитном поле [71, 72] оператор эволюции является, по существу,
преобразованием Боголюбова, что позволяет использовать применявшийся в
[71] метод когерентных состояний [61] для вычисления производящей функции
и матричных элементов преобразования Боголюбова. Далее следуем [381].
Введем когерентные состояния, следуя [68, 381], для операторов ак, а-к,
Ьк и ?>_к при к Ф 0:
О'к I Яц СС2Уа I (r)1> ОС2Уси Ьк | Рх, Р2^(, Pl | Pli Р2/Ы ^
| йц а2}а = а2 \ аи а2>"; Ь_к | рь р2>ь = 02 | рь р2>ь.
Наличие когерентных состояний позволяет ввести производящую функцию для
матричных элементов (1.3):
ехр (х/21 СЦ Р + | а212 + | рх |а + | р2 |а) ь<рь р21 аь а2>а =
Vi "Xfr'f2m2 с
2j ("j! п2\ тг\ т2!)</2
Льп*; mi, т*
Легко вычислить, используя результаты работы [71] (см. также [380]),
