Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
точками пересечений траекторий (в фазовом пространстве системы),
отвечающих некоторым фиксированным интегралам движения начального и
конечного состояний.
Для нахождения "квазиклассической" асимптотики d-функции в области
больших значений квантовых чисел можно, следуя [392], использовать
полученные в § 2 интегральные представления.
Используя (2.21), представим d-функцию в виде (3.1):
din, т' (9) = (2т')_3 [(j 4- т)\(/ - т)\ (/ -f- т')\ (j - т.')\}Чг х
X (j) ехр {/ (х, у, z)} , (3.4)
288
где
f (Хг У г 2) = -^-ЛЧ- j!/+~ -
Л /
z - (j - т)Ы х - (т, т) In у - (] - т') In z.
Асимптотика интеграла (3.4) в области больших квантовых чисел
определяется точками перевала, для которых grad / (х, у, z) = = 0.
Координаты точек перевала находим из следующей системы уравнений:
4,1 г / - т . 1 1 xz т + т' .
Т + ТТ = _^ ' 1 Г1Р ~ у ' /0
" ¦ , (3-5)
4 , 1 х ] - т' х '
Т 1 Т ~ ~~ г '
Решая систему (3.5), получаем значения коо]>дипат х, у, z и w - xzly
точек перевала:
л-1,2 - -щ {2/Г]2 + (пг' - пг) ?2 4= г [4 (У2Г)2 f mm'l2) - (пг Ь mf Е4]'
2>V 2/1,2 = {2 / + (г" -|- пг') + ? [4 (у2 if f mm'f) - (т + mf I4]1/*};
(3.6)
zi, г = -щ {- 2/г]2 + (т -т)Р± ? [4 (pv? -J- ш'^г) -
- (т -f- mf ?4]1/2}; ч>1, г = -4р- (2 У - (пг + пг') |2 + ? [4 (У2т]2 -|-
mm'f) - (пг + пг')2?4]'/2}.
25
Отметим, что
х
2
(/ - пг) (У + пг'); | у | 2 = (У + пг) (у + пг');
I z |2 = (У + пг) (У - пг'); | inli2 | 2 = (У - пг) (У -
пг').
Определитель, составленный из вторых производных функции по координатам
х, у, z, - гессиан Не / = || д2//5?гд?7- || (?х = х, ?2 = у, Сз = z)>
входящий в (3.2), в перевальных точках можно представить с учетом (3.6) в
виде
1
,у2
+ 10 - пг) (У - пг') [2у + (пг + пг') |2]}. (3.7)
Не / = (2w А ft* - 4) + тт'Р] +
При подстановке значений w (3.6), отвечающих точке перевала, в формулу
(3.7) гессиан можно представить в виде
Не / = -\ , (3-8)
х\,ъУ\,А>&
10 И. А. Малкин, В. И. Манько 289
где h (), т, т') = | h (j, т, т) | ехр {i Ф}; | h (}, т, т') | =
= I2 [() +т) (/ - т) (/ + т') (} - тга')]1/" [4 (/V + тт.' ?2) - - (т +
т'У ?4],/г"> фаза Ф в двух перевальных точках отличается только знаком:
т t , 72 (л2- 1) + тт'Еа /о г>\
Ф = 4- arcta;----------------------- - . (3.9)
7 14 (;'2т2 + mm'Z2) - (тп + т')2 i;4] '2
Интегрирование по переменным х, у, z в (3.4) тесно связано с
интегрированием по фазовому пространству шарового волчка. Действительно,
гессиан Не / (3.8) можно выразить через классический импульс рп шарового
волчка в виде
Не/ = -=........... sin°---------------рч. (3.10)
VU + т) (/ - т) (/ + т') (/- т')
Таким образом, точкам остановки отвечают пули Не /:
4 0V + тт'12) - | т + т | 2?4 = 0. (3.11)
Это, очевидно, совпадает с условием обращения в нуль квадратного корня,
входящего в (3.6). При фиксированном угле 0 ^-функция зависит от трех
дискретных переменных - квантовых чисел /, т и т.', причем | т | / и |
т.' \ /, / > 0- Эти условия выделяют
в трехмерном пространстве (т, т', /) пирамиду с вершиной в начале
координат и квадратным сечением в плоскости / - const. Уравнению (3.11)
соответствует в этом пространстве конус с вершиной в начале координат,
лежащий внутри пирамиды и касающийся ее граней. Конус (3.11),
соответствующий классическим точкам остановки шарового волчка, выделяет
внутри пирамиды области, в которых асимптотика d-функции носит
существенно различный характер. В области, лежащей внутри конуса (3.11),
решения системы (3.6) комплексные (область классического движения волчка)
и асимптотика носит осциллирующий характер. В области вне конуса (3.11)
решения вещественные (классически недоступная область) и асимптотика
является экспоненциально убывающей.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью / = const, / 1.
Тогда область квантовых чисел т, т', отвечающая осциллирующей асимптотике
d-функции, лежит внутри эллипса
т +-Г^7о=/2. (3-12)
1 + cos 0 1 1 - COS 0
где М = 2-1'2 (т + т') и М' = 2~'I2 (-т + т'). Вне эллипса (3.12) при /
1 асимптотика d-функции носит убывающий
характер.
Асимптотика d-функции при условии, что точка (/, т., т.') лежит внутри
конуса (3.11), причем /, т, т' 1 и / т, т', оп-
ределяется вкладом в интеграл (3.4) двух перевальных точек (3.6). Вклад в
интеграл (3.4) от первой перевальной точки, вычислен-
290
ный по формуле (3.2), будет равен
(0) = -+ [4 + mmV) ~ (т + m'f g*]-*/. Х
у ^я
X ехр ( - t[ (/- т) arg хх + (т + т) arg уг + (/ - т) arg 4 4- 2~' yirg h
(1)] -f- 2у} (2л (j - (/ + т)0'+(tm))/2 у - m'yi-m")!* х
X (j 4- т'У(tm)'*2 \(j - т.) (/ 4- т) (/ - т) (/ + /га')]''*}-1. (3.13)
Используя формулу Стирлинга nl ж ппе~п ]/^2лп, п^> 1, выражение (3.13)
можно представить в виде
D(tm)m. (0) * - JL,-------------е?Р[_^(ь ^ гп')} (3.14)
У2л [4 (/2Г| 4- mm'E,2) - (m аг')2Е,4] 4 Вычисляя вклад второй
перевальной точки, получим
Dmlm' (0) ~ -+-------------ехр РФ (у, m, т')]---_ (3.15)
У2я [4 (/2, 2+ тт'Й - (т + т')2 ?,4]
Суммируя вклады двух перевальных точек, находим, что для больших
квантовых чисел j, п, п', лежащих внутри конуса (3.11), асимптотика d-
