Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(Np)nexр (-Np)/n\. Однако при Np 1 распределение Пуассона, так же как и
биномиальное, переходит в нормальное распределение G (п) = (2 я NpqY'G
ехр [- (п - - Np)2/2Npq]. Таким образом, при условии 2Д]2/|2 5§> 1 можно
найти, что выражение (3.22) переходит в
(2jv?m-U
(m - f cos 0)2
1 smz
, (3.31)
^- m)\ exP (- 2i =*• (я/sin 0)"1/! exP
где sin 0 = 2r]/|2, cos 0 = 1-2r]2/|2. Величину
(3.21) можно заменить на (/ sin20)J_m72;_m (j - m')\. Выражение
(3.27) можно представить теперь в виде
(1 -(- су'-т ехр ^- 2/ cj =Ф ехр ?(/ cos 0 - да) с с2/ sin2 0
(3.32)
Производя предельный переход в (3.19) при условии /г]2/|2 > Jg>l, с
учетом (3.31) и (3.32) находим
dm, т' (0) ~ (я/ sin2 0)
2 р\~Ч>
2J~m' (/' - т
X
2л i
(j sin2 0)J-m ехр [(/ cos 0 - т) с
')! 11/2 т- ехр
(m - j cos 0)2 2/ sin 0
X
,)-m
1/4 с2/ sin2 0] dc
Подынтегральное выражение в (3.33) является производящей функцией для
полиномов Эрмита [88]. Следовательно [392],
dm, m' (0) "(- 1У п (я/ sin2 0) ,/' [23 m (/ - пг')!]
X
X ехр
- (m - / cos 0)2 2/sin2 0
Я
j-m'
(mjcos0\ (3 34)
\ // sin 0 /
В ПЛОСКОСТИ j
294
пг (3.34) переходит в формулу Вигнера (3.30).
В случае j - тп' Д> О плоскость j - тп' = const, параллельная грани
пирамиды, пересекает конус (3.11). Осциллирующий характер асимптотики d-
функции внутри конуса будет обусловлен полиномами Эрмита. Отметим, что в
соотношении, аналогичном
(3.34), полученном Корио [395], имеется лишний множитель ввиду неточности
в записи предельной формулы для полинома Эрмита (см. формулу (30) в
[395]).
Перейдем теперь к нахождению асимптотики d-функции при условиях, что 1,
г] 1 и ц V? - тп'2 ~ 1. Теперь можно найти асимптотическое поведение d-
функции в случае, когда квантовые числа j и тп' лежат на гиперболе вида
j2 - тп'2 = о2/4г]2, о = = const и | тп | < j. При достаточно больших /
проекция пересечения этой поверхности с конусом (3.11) на плоскость_ш,
тп' представляет собой две параллельные прямые М' - ±c/j/~2- Для
нахождения асимптотики d-функции при этом условии оказывается удобным
использовать интегральное представление (2.27). Выполняя интегрирование
по ах и в формуле (2.27), легко находим интегральное представление для d-
функции вида
jj /т _ Г (/ + - m)\
_j_ m/y у -
? (1+Tl")5+m (1_ U ) du
2 л i
(3.35)
Условие г] 1 позволяет заменить в подынтегральном выражении (3.35)
величину (1 + г]u)Um' (1 - т]/н)7_7П' на ехр [ц (/ + + тп') - т] (у -
тп')/и]. С учетом этой замены получаем
X
ехр[т! (/ + т') du
-2, ехр д v "Г m-ми --yq-- ,
& Ь-------------------^-----М- m и_/J du 3 3
2л1 у и(tm) -т и
Интеграл, входящий в (3.36), является интегральным представлением функции
Бесселя
1 ф ехр Р/а г (t а2Н)] dt_ =
2л1 J tn tdl1
используя которое находим асимптотику d-функции в виде [392]
d
j ¦ (0) * PexP (- M2) X
тп, m
х(т±^Г (3.37)
при j 1, г] 1, г] (j2 - т.'2)4* ~ 1. Отметим, что асимптотика (3.37) типа
Хильбе была получена в [392], а для полиномов Якоби строгими
математическими методами получена в [396].
Приложение
В настоящее время на русском языке имеется значительная монографическая
литература, посвященная теории представлений групп и алгебр Ли.
Детальному математическому изложению общей теории абстрактных групп и
алгебр Ли посвящены монографии [1 - 7]. Общие вопросы теории
представлений алгебр и групп Ли освещаются в [8 - 10, 202].
Теория конечномерных представлений классических групп подробно излагается
в ряде работ [9-13], а теории бесконечномерных представлении посвящена
монография [330]. Спинорныс представления группы О (п) приводятся в
работе [14]. Вопросы спектрального анализа на симметричных пространствах
излагаются в работах [15-20].
Различные вопросы теории представлений группы вращений О (3) группы
Лоренца и ее приложений в физике нашли свое отражение в монографиях [21-
30, 50, 393, 388, 320].
Свойствам некоторых специальных функций и их связи с теорией
представлений посвящена монография [31].
В настоящем приложении приводится сводка, содержащая связное изложение
некоторых важнейших определений и результатов теории представлений.
Следует отметить, что приводимые в сводке определения хотя и эквивалентны
общепринятым, несколько отличаются от них по форме.
Цель сводки двоякая: во-первых, она позволяет читателю ознакомиться с
краткими определениями понятия и формулировками результатов теории
представлений, которые встречаются в основном тексте монографии; во-
вторых, сводка может облегчить дальнейшее знакомство с обширной
литературой. Сводка состоит из трех частей: I - Алгебры Ли,II-Линейные
группы Ли, III - Алгебры Ли линейных групп Ли, содержащих 48 пунктов.
Предполагается, что читатель свободно владеет линейной алгеброй в объеме
[32-34].
Приводимая краткая сводка чисто математических результатов ни в какой
мере не может заменить читателю знакомства с систематическим изложением
теории представлений групп Ли и ее применений в физике.
I. Алгебры Ли
1. Алгебра Ли. Пусть X - линейное конечномерное векторное
