Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
производится по независимым замкнутым контурам в плоскостях комплексных
переменных alt a2, а3, а4, охватывающих один раз начало координат
соответствующей плоскости.
Производя в (2.19) различные замены переменных и выполняя затем
интегрирование по части переменных, авторы [391] получили различные
интегральные представления для d-функции.
Рассмотрим, следуя [391, 392], некоторые из таких замен переменных,
позволяющих выполнить в (2.19) одно интегрирование и, таким образом,
получить волновые пакеты, являющиеся производящими функциями и зависящие
уже от трех комплексных переменных.
Введем, согласно [392], новые переменные х, у, z, w:
х = cqo^; у = a2a4; z = а2аз> w = aia3> (2.20)
причем xz = yw. Легко проверить, что a[~ma32+ma33~m a4+m =
= xi-(tm)ym+m'zi-m'. Производя замену (2.20) в (2.19), получаем интегральное
представление
dm, т' (0) = (2лл)~3 [(/ + иг)! (j - т)\ (/ + иг')! (/ - т')\}'ы х
/ т) 1 1 xz Л \
хф"р^т,+т"+т--т-) , (221)
J х)-т^т+т ут' xyz v '
Из (2.21) следует, что производящая функция в переменных х, у, z имеет
вид
У
J-mm+m' J-m'
d3m, m' r.., . (2.22)
V(/ + m)! (i - m)\ (/ + m')\ (/ - m')!
j, m, m
В переменных a, b, с таких, что
b = a2a4; ab - a2a3, с = a4a4, (2.23)
интегральное представление (2.19) принимает вид dm, m' (0) = (2яг)_3 [(/
+ m)! (/ - m)\ (/ + m)\ (j - wг')!],/, x
r exp (~Xa6+~ ac+~ 6 + TC) dadftdc " 24 J a-'_mV+"V~m abc ' '
' '
286
Производящая функция в переменных (2.23), как ясно из (2.24), дается
формулой
ехр (- -j-ab +-L ас +-±-Ь + Л-с) = ai+m'b
V(/' + т)\ (/ - т)! (/ + То')1 (/ _ т')! "
dm, m' э - с . (2.25)
' ' Vи + т)! ( - ml! и 4- то'Я I/ _ ТО'Н V '
7, т, т
Замене переменных вида
= o^cq; = а2а4; ci/fcj, = а2а3 (2.26)
в (2.19) отвечает интегральное представление d3m, т- (0) = (2я?)"3 [(/ +
т)\ (j - т)\ (j + т')\ (j - т.')\]Чг X
х 1 ехр [i".(* + i)+T'-'(1,'-i)] ¦
(2.27)
Соответствующее (2.27) интегральное представление очевидно: ехр
_Tfli + ir) + тCl (bl ~ 1). <тЧ
VU + т)! (/ - (tm)у- (/ + т')\ и - т')\
Zaj+m'b-imJ-m'
dJm то- (0) L= r= . (2.28)
V(i + m)\(i-m)\ (i + m'Y. (i ~ m')l
jy my m
В работах [391, 392, 298] путем выполнения интегрирования в представлении
(2.21), (2.24) и (2.27) по некоторым переменным получены производящие
функции двух и одной переменной. Волновые пакеты (2.22), (2.25) и (2.28)
могут играть роль когерентных состояний симметричного волчка.
§ 3. Квазиклассическая асимптотика -функций -
матричных элементов группы вращений 0(3)
Изучение поведения d-функций при больших значениях квантовых чисел
("классический предел") представляет интерес как в связи с различными
применениями, так и с математической точки зрения, так как через d-
функции выражаются матричные элементы неприводимых представлений группы
вращений О (3). Отметим, что матричные элементы преобразования Боголюбова
[376], как показано в [380, 381] (см. § 1 гл. X), выражаются через d-
функции, так же как амплитуда перехода между уровнями Ландау в
нестационарном магнитном поле (см. § 3 гл. II). Различные виды асимптотик
d-функций обсуждались в работах Вигнера [320], Бруссарда и Тельхука
[394], Корио [395] и Мартина [396].
Для исследования квазиклассической асимптотики матричных элементов
перехода Ландау [276] предложил метод, основанный на нахождении
комплексных траекторий классической системы,
287
и экспоненциальный характер асимптотики связал с этими комплексными
траекториями. В настоящем параграфе асимптотические выражения для d-
функций, следуя [392], мы будем находить методом перевала, используя
интегральные представления для d-функций, найденные в § 2 (см. [298,
391]).
Методом перевала [397-399] можно оценить асимптотики при х 1 интегралов
вида
/ (х) = J Ф (0 ехр (х/ (?)} dt, ? = (?!,?" tn), (3.1)
с
где х - вещественное число, х 1; ср (?) и / (?) - аналитические функции
переменных ?1( ?2, . . ., ?п; С - многообразие в комплексном пространстве
такое, что его граница не вносит существенного вклада в интеграл (3.1).
Если контур замкнут, то подынтегральное выражение может быть мероморфной
функцией. Метод перевала позволяет записать асимптотику как сумму вкладов
от каждой точки перевала ?0 вида
/,<") - (- 4-Г +0 Ш ¦ (3-2)
где Не / (?) - детерминант матрицы, составленной из вторых производных
функций / (?):
Не / (?) = det |[ 52//5?г5?; ||, /,7 = 1 п. (3.3)
Точки перевала Со определяются уравнением grad / (С0) = 0.
Предполагается, что вблизи ?0 функция ф (Со) меняется достаточно
медленно. При наличии нескольких точек перевала асимптотика интеграла I
(х) определяется суммой вкладов вида (3.3) по всем допустимым перевальным
точкам (см. [397-399]). Таким образом, асимптотика, вычисляемая методом
перевала, определяется значениями подынтегральной функции в некоторых
экстремальных точках.
Обычно квазиклассические амплитуды перехода в соответствии с принципом
Франка - Кондона [273, 274], как показано в [276], определяются
некоторыми точками в фазовом пространстве системы. Эти точки являются
