Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно [104], функция Грина такой системы имеет вид (очевидно,
достаточно ограничиться случаем С = 0, ср = 0)
G (х, х0, t) =
= [det (- 2ягА,3)]-1^ ехр ( хЦ^х - Ixk^x^ + х^к^х^ ,
(7.6)
где iV-мерные матрицы Я,-, j - 1, 2, 3, 4, являются элементами некоторой
блочной симплектической матрицы. Для простоты мы ограничиваемся здесь
случаем det Я3 Ф 0. Но в 2А^-мерном пространстве векторов z = (х, .х0)
всегда существует такое ортогональное преобразование 0(z' = Oz), которое
диагонализует квадратичную форму в аргументе экспоненты в (7.6). Новые
переменные z и являются обобщенными нормальными координатами. В этих
112
йеременных функция Грина распадается на произведение 2N функций, каждая
из которых зависит только от одного аргумента. Это означает, что с
помощью преобразований (7.4) можно1 всегда полностью "расцепить" систему
уравнений (7.1) для квадратичных систем. Заметим, что если рассматривать
функцию1 Грина в переменных х, р, т. е. проделать фурье-преобразование по
переменной х0, то преобразование, факторизующее функцию1 Грина, хотя и
является ортогональным в пространстве (х, р),. но не является в общем
случае каноническим, т. е. не сохраняет коммутаторы {xj, рк}. Это
утверждение следует из результатов работы [125] (см. также [104-107]). В
качестве примера укажем на гамильтониан Ж = + ху. Достаточным условием
возмож-
ности диагонализации гамильтониана (7.5) и факторизации функции Грина с
помощью канонического преобразования является неотрицательная
определенность матрицы В в (7.5). Если в системе можно ввести обычные
нормальные координаты [99], то вновь введенные обобщенные координаты,
очевидно, могут быть сведены к обычным.
Проведенное рассмотрение показывает, что свойства симметрии квантовых
систем, обсуждаемые на языке уравнений (7.1), богаче, чем обсуждаемые на
языке уравнения Шредингера.
Глава IV
Матрица плотности квантовых систем
§ 1. Интегралы движения и матрица плотности
В предыдущих главах мы рассмотрели функции Грина и интегралы движения
квантовых систем. Целью настоящей главы является обсуждение свойств
матриц плотности квантовых систем и их связи с интегралами движения [105,
126], а также исследование стационарных квантовых систем, функций Грина
стационарного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом и
свойств адиабатических инвариантов квантовых систем.
Если гамильтониан квантовой системы не зависит от времени, то матрица
плотности задается ядром оператора е~$ж, где параметр р = T~l, Т -
температура. Очевидно, что эта матрица плотности получается простой
заменой времени во временной функции Грина квантовой системы t -"- -фй,
поскольку функция Грина является в этом случае ядром оператора эволюции
ехр(-it Ж/К). Матрица плотности стационарной квантовой системы p(se, sc',
р) удовлетворяет уравнению Блоха <Эр/сф - Жр = = ?6 (р)5 (х - х') -
полному аналогу уравнения для функции Грина квантовой системы. Если мы
рассматриваем нестационарную квантовую систему, то ее матрица плотности
получается из матрицы плотности ро = ехр[ - рЖ(0)], заданной в начальный
момент времени t0 = 0, с помощью оператора эволюции U(t) согласно формуле
Эта матрица плотности удовлетворяет уравнению iti dpldt = = [Ж, р] и
является интегралом движения для гамильтониана системы Ж (t),
определяющего оператор эволюции U(t).
Рассмотрим некоторые наборы интегралов движения, зависящих от параметра р
и времени t, с целью написать уравнения, связывающие интегралы движения
квантовой системы и ее матрицу плотности и являющиеся аналогами
соответствующих уравнений] для функции Грина. Для этого рассмотрим 2N
операторов - "интегралов движения" для стационарного гамильтониана -Ж
(0), зависящих от "времени":
(1.1)
я (Р) = epsw ih -А.) е-Р*№;
q ф) = ерлц<цхе-ра?"ц.
(1.2)
114
Построим из этих операторов интегралы движения квантовой системы с
гамильтонианом Ж (?):]
я (t, р) = г7(г)й(р)н_1(г); м оч
q(t, p) = C/(0g(p)C/-1(0- { '
Тогда прямой проверкой нетрудно убедиться, что матрица плотности системы
р(х, х', t, р) связана с инвариантами системы (1.3) и интегралами
движения, задающими начальные точки траектории системы в ее фазовом
пространстве X = U(t) xU~\t), Р = - U(t)(-ihd/dx)U-\t), с помощью
соотношений
X (х) р (х, х', t, Р) _== qT (*') р (ж, х', t, Р);
Р (х) р (х. х. Е Р) = • лт (*') р (х, х'. t. Р): (1.4)
р (ас, х', 0,0) =¦ б (х - х),
где дт (х') означает транспонированный оператор q, действующий на
аргумент*'. ¦ - г
Уравнения (1.4) связывают матрицу плотности с интегралами движения
квантовой системы. В начальный момент I 0 матрица плотности совпадает с
равновесной. В тех случаях, когда квантовая система задается
квадратичными гамильтонианами, интегралы движения X,JP,-q, я легко
вычисляются, аналогично случаю, разобранному в предыдущей главе, и
представляют собой линейные формы по операторам координат и импульсов.
Если операторы Р и X задаются матрицей A(t) и вектором 6 (t) (см. формулы
(4.2), (4.3) гл. III), то инварианты (1.3) задаются формулами
