Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
^t
| п, I, pzy = (2nr)-v>exp -^-+Й/ф --^^со(т)йт) 'ГДгД);
о
(6.40)
г2 = х2 + у2; а = (I2 + 2тК/Н2)1!г] го (t) = еН (t)/mc.
При К = 0 эта функция переходит в полученную в [72]. Функция Грина G (2,
1) данной задачи может быть представлена в виде (частный случай формулы
(6.39))
?(Гг,фг,<г;г1,ф1,<1) ~
Амплитуды перехода между уровнями энергии Tit имеют следующий вид:
При К - 0 эта формула переходит в полученную в [72].
Рассмотрим теперь многомерный осциллятор с К = 0. В этом случае мы знаем
р + 2 линейных интеграла движения аг, определяемых по формуле (1.2) гл.
II. В то же время, как мы только что выяснили, задачу можно свести к
одномерной с g = К2 [Z (I + + Р) + (р2 - 1)/4]/2т, если рассматривать
состояния с заданным моментом, а для одномерной задачи мы знаем интеграл
движения А
(6.6). Рассмотрим интеграл движения
р+2 р+2 р-f-2
а2 = 2 а? = (2т,h) 1 [ 2 ph2 + e27hV2 - ее ^ (xiPi + Pixi)] • (6.43)
Если его рассматривать только для функций R(r) . . (0r,
02,...),
то он может быть представлен в виде
Далее мы из многомерного гамильтониана (6.37) Жр получаем одномерный
гамильтониан Ж\ с помощью подстановки 7? = г~'р+1)/2 х X х (0- При этом
ЖР (г-(р+1)/2х) = г-(р+1У2Жi%. Аналогично, вместо оператора а2 мы должны
ввести оператор а2, определяемый соотношением а2г_''р+1)/2х =
г~(р+1Т2а2%. Легко проверить,что определенный таким образом оператор а2
совпадает с интегралом А (6.6), в котором следует положить g = [Z (I + р)
+ (р2 - 1)/4]Й2/2т. При этом параметр а равен I + р/2, т. е. многомерный
осциллятор
ОО
^G((r2,?2;ri,<i)cos I (ф2 - cpi) + -j- у и (т) dx . (6.41)
Tit = П? (?, Л, а); а = (I2 + 2тК/Н2)ч\ (6.42)
(6.44)
описывается полученными ранее формулами, в которых а - целое или
полуцелое число.
До сих пор мы рассматривали решения уравнения (6.1) лишь на полуоси0 <[ х
оо. В случае потенциала отталкивания g )> О это вполне оправдано, так
как, согласно классическому рассмотрению, частица с конечной энергией не
может достичь начала координат и тем более перескочить на другую полуось.
Если же в окрестности начала координат потенциал имеет притягивающий
характер, то с классической точки зрения вполне можно вести рассмотрение
на всей оси; в этом случае частица пройдет начало координат с бесконечной
скоростью и перескочит на другую полуось. От бесконечной скорости в
начале координат можно избавиться, обрезав потенциал снизу. Таким
образом, можно поставить вопрос о распространении полученных ранее
решений на всю ось. Мы уже отмечали, что при 0 <"] а V2, кроме решений
(6.5), существуют и другие решения, отличающиеся от (6.5) лишь знаком при
коэффициенте а (факт, отмеченный и в работе [117]), образующие полную
систему [116] и обращающиеся в нуль при х = 0. Единственное, чем эти
решения хуже решений (6.5),- это то, что величина Т- (аОЧГ (х) - оо приз;
= 0. Мы уже отмечали, что решения (6.5) (будем их обозначать \ п,- У) при
а = V2 совпадают с нечетными состояниями осциллятора. Легко видеть, что
решения второго типа (обозначим их \п, + >) переходят в четные волновые
функции осциллятора при а = 1/2. Если считать, что решения на всей оси
должны переходить в решения для осциллятора при а - - 1/2, то ясно, что
функции | п, -У следует продолжить на отрицательную полуось нечетным (Yn_
(- j х |) = - (| х |)), а функции
| п, -]-> - четным (*Fn+ (- | х |) = 'Е"+ (| х |)) образом. Полученная
таким образом система функций будет ортогональна на всей оси и полна на
интервале - оо х оо. Аналогичным образом можно построить состояния | а, -
У и | а, +]>, которые при а = V2 переходят в нечетные и четные
когерентные состояния соответственно.
Рассмотрим, наконец, случай, когда g - Н2/8т, т. е. а - чисто мнимое
число. В работе [120] показано, что для частоты, не зависящей от времени,
можно получить полную систему решений в этом случае, если наложить
дополнительное условие на поведение функций в окрестности нуля, которое
сводится к тому, что из двух решений, ведущих себя при х 0 как х''2+i 1"
I и х'!*-{\а\, следует выбирать второе. Формула (6.5), в которой вместо а
следует писать - i | а |, является обобщением полученных в [120]
результатов на случай произвольной зависимости частоты от времени.
Рассмотрим теоретико-групповой аспект обсуждаемой задачи. Вернемся сперва
к задаче об осцилляторе. Интегралы движения а^2, а2 и а^а, определяемые
обычными формулами, можно рассматривать как генераторы группы U (1,1)
(или О (2,1)), что было сделано в работах [19, 121]. Действительно,
выполняются следую-
109
щие коммутационные соотношения:
М+ = У2 a*2; М_ = - V, а2; М3 = V4 (аа* + а* а)-
(6.45)
[М+, MJ = 2М3; 1М3, М+] = М+; [М3, М_] = - М_.
Эти соотношения определяют алгебру Ли группы U (1,1). Можно посчитать
оператор Казимира М2 - У2 (М+М_ + М_М+) + М3. Он оказывается равным М2 =
s (s + 1) = - 3/i6- Таким образом, все четные уровни реализуют одно
неприводимое представление алгебры Ли группы U (1,1), а нечетные -
другое. Это - результат работ [19, 121]. Поскольку интегралы движения А,
