Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
G (а*, р, t) V 7-' " N , 1 " ',N G (ш, п, t). (5.44)
(mjl ... mN'. "j!... nN\)
Разлагая функцию Грина (5.43) в ряд по переменным а* и (3, получаем
выражение для матричных элементов оператора эволюции U в дискретном
фоковском базисе:
Gmn it) - ¦ - - -J¦ . (5. ±5)
imi- ¦ • • mN\ raj! . . .nN\) 12 Здесь Нм - полином Эрмита 2N переменных;
М = (mv . . ., ту,
71^, . . ,,71у)',
II
W - "
II - Г1 - rfZr1
s - О -
где s2 = у* - Выражение (5.45) совпадает
(если сделать соответствующие переобозначения) с амплитудой перехода при
параметрическом возбуждении многомерного осциллятора (4.10). Это же
выражение есть интеграл перекрытия волновой функции | и.; 0) и волновой
функции | т; ty, получающейся в результате эволюции квадратичной системы
с гамильтонианом (5.22) из состояния | т\ 0). В представлении когерентных
состояний волновая функция | Р; О (функция Грина в "косом" базисе) имеет
вид
<т | р; ty --= G (0, р, t) Нт (fPrV). (5.46)
Здесь Нт - полином Эрмита от N переменных; ц = 5-1(Р - Y)>'
W, = ГЧ
Теперь мы можем вычислить функцию Грина в координатном представлении в
том случае, когда все Х-матрицы вырождены. Для этого введем операторы а и
по формулам У 2а = х + ip, Y2аУ = х - ip. Тогда матрицы | и ц будут
связаны с Х-матрицами согласно формулам
I = 1!ч (К - iXp)\ Л = Va У ч + Y = (2ft)-'2 б; ^ 47^
Хр - Х3 -f- lXj, Xq = Х^ -|- lX%', б ~ 62 "Г i6j.
Нетрудно показать, используя тождества (5.33), что матрицы Хр и не могут
быть вырождены (мы рассматриваем сейчас для простоты случай эрмитовых
гамильтонианов, в неэрмитовом случае формулы более громоздкие). Функции |
а) в данном случае равны
(х | а) = (яh)~Ni* ехр [- {2h)~1xi - V2 а2 + (2/Й)1/гах - V21 "|21-
(5.48)
4 И. Д. Малкин, В. И. Манько 97
Поэтому, применяя преобразование (5.21), получим следующий результат:
G{x,x0,t) = iN/2 (2пН)~к/2 (det Хр)~1/2ехР 2^V^Xqx---------jr-хХ^б-
~ JK 62 + Ж S - 2гФ)dT] П P7'/!exp - 4" ^ ^ +
0 i=i ;
N
+ -4-[(5xo);]2} П 6(nm)exp{-^-[(25x0-vU2}; (5.49)
1 m=Jc+l 1 J
кз^р1 = S'1 diag (pb p2, . . ., р,., 0,0,... , 0) S; Repj>0, j<k\
(5.50)
V = S (x0 - 62 - гкр1х)ч. (5.51)
В этих формулах S - вещественная ортогональная матрица, диагонализующая
симметричную матрицу Х3Х^-. Существование S очевидно в случае det Х3 Ф 0,
ибо тогда, в силу определения (5.47), Х3Х~^ = (En -f- i^J1^)-1, а
вещественная (в случае эрмитова гамильтониана) симметричная матрица Х31Х1
диагонализуется вещественной ортогональной матрицей. Поскольку матрица
Х3Х^ неособенная, то справедливость (5.50) можно доказать с помощью
предельного перехода. Можно также показать, что в силу свойств Х-матриц
аргументы б-функций в (5.49) на самом деле всегда вещественны, если
вещественны Х-матрицы.
Если гамильтониан от времени не зависит, то можно показать, что матрицы
Xj и векторы 6; подчиняются, кроме условий (5.33), еще дополнительным
соотношениям
(- t) = Xt (t); ^2, з (- t) = - ^.2, з (t)>
61 (t) = (- t) - Xg1 (- t) Х^ ( - t) 62 (t)", (5.52)
6a (t) = Xi (t) X2x (t) 61 (t) -f- Xj1 (t) 61 (- t), так что в этом
случае полученные для функций Грина выражения могут быть еще более
упрощены.
Вычисляя преобразования Фурье от функций Грина G (t), можно получить
функции Грина стационарного уравнения Шредингера. Примеры точных функций
Грина такого типа могут быть найдены, в частности, в работах [111-114].
В заключение этого параграфа сделаем тривиальное замечание, что поскольку
известны функции Грипа для квадратичных систем, то тем самым известны и
функции Грина для целого семейства гамильтонианов, которые могут быть
получены из (5.22) преобразованием типа Ж' - SMS'1, где S - произвольный
оператор.
В частности, можно убрать каноническим преобразованием сдвига линейные
члены в'гамильтониане; это'преобразование имеет вид S = ехр (ц (t)q);
tfi(t) - В (t)pfi(t) + С (t) = 0; 5д Ри =
98
§ 6. ДеквадратиЦная систёмА - сингулярный нестационарный осциллятор
Данный параграф посвящен изучению неквадратичной квантовой системы -
сингулярного квантового осциллятора, описываемого волновым уравнением
[65, 66]
<6-'>
Но прежде чем изучать это уравнение, рассмотрим предельный случай -
нестационарный осциллятор с переменной частотой, со стенкой в начале
координат [114], решениями которого являются нечетные когерентные
состояния | а+> (см. формулы (9.28) и (9.38) гл. I). Нужно только учесть,
что скалярные произведения заданы в этой задаче интегрированием от точки
х - 0 до бесконечности. С учетом новой нормировки приведем явный вид
когерентных состояний | aдля этой задачи:
, . /4т / im в , . е* , I а I2 \ . / ха
/ 2т \
I а^> = (да) ехР ы Тх + -2Га - sm (- У -) •
(6.2)
Эти состояния не нормированы. Для нормировки их следует умножить на
фактор N_ (| а |).
Выпишем также функции | п\\гУ-
I ч (А*)п ,п . (-1)(tm) I 4 т ЭЛ / е* ч(2п+и/2
I nw) - ^^л + 1)! ^ _ /(2п + 1)! (лЙЕ2) (2е ) Х
<6'3)
где Нп (х)-полиномы Эрмита. Следует учесть, что | - основ-
ное состояние осциллятора со стенкой - соответствует первому
