Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 47

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 123 >> Следующая

<222>
3=1 3=1 3
Введем новую специальную функцию (см. [107, 111])
Q (zi,... , zN, coi,... , cox', E) -
" zn. < _ _ znN
= ---p (toirei + . .. -Г colyK/v - E) 1. (2.23)
nu...,nN=o
Эта функция очень похожа на гипергеометрическую функцию и сводится к ней
при cox = со2 =• • . = со^:
Q (Zi,... ,Zx,co,.. ., со; Е) =
N N
= - Я-1 ехр (]Г/з) ф (1; 1 - (2-24)
j=i 3=1
120
Здесь Ф - вырожденная гипергеометрическая функция. Функция Q может быть
записана также через неполную гамма-функцию (см. [88]):
N N
Q(zt, . ..,(c), = ш (_JL; - . (2.25)
7=i 7=i
Используя новую функцию, аналитическую по переменным Zj(j = 1, . . .,
TV), можно выписать функцию Грина стационарного уравнения Шредингера с
гамильтонианом (2.20) в виде
G (а*,.. . , а*, Pi,... , (5^; Е) =
= ехр
-!-$>,!¦ + | Pi Г) Q (a*Pi, ¦ • • .айРлцЮг, • • • ,ЮлГ" Е).
(2.26)
Переходя к координатному представлению с помощью формулы
(2.16), мы можем сразу написать интегральное представление для функции
Грина стационарного уравнения Шредингера G(x, у, Е)
N
через специальную функциюQ. Пусть Ж -
7=1
тогда имеем формулу G (х, у\ Е) =
N
= U d2a d2p ехр {- [^ (х) + у)) - (2'щ)1/* (аЛ- + $ys) +
*=1
N
+ ^-(а? + ЭГ) + ^-(|а,|2 + |Э,|2)]}[П И*] X
X n~l/2Q (а*^,... , a%fiN, о"!,. . .., oijv" #)¦ (2.27)
Интегрирование в этой формуле ведется по 47V действительным переменным,
отвечающим интегрированию по начальным и конечным точкам фазового
пространства TV-мерного гармонического осциллятора.
Используя формулу (2.25) и интегральное представление для у(с, х) (см.
[88]), можно получить интегральное представление для функции Грина G(x,y,
Е) изотропного многомерного осциллятора с гамильтонианом Ж = V2(i>2 + х2)
(мы для простоты взяли случай (о = 1, h = 1):
1
G (х, у', Е) - s.n ^ щ ехр [ - - j- (х2 + у2) ] ^
d0
X
_ -еМвч*/.
о
X ехр (Ш (V2 - Е) - [e2i0 (х2 + у2) + 2eiexy] (1 - е^)'1}. (2.28)
121
Этот интеграл можно выразить через функции параболического цилиндра,
поскольку через эти функции в [112] было получено выражение для функции
Грина G(x, у, Е).
§ 3. Соотношение неопределенности энергия - время
для нестационарных квантовых систем
Открытое Гейзенбергом [132] соотношение неопределенности Ар Ах ~ h
явилось основой для согласования корпускулярной и волновой картин в
квантовой механике [133].
Понимаемым вначале эвристически неопределенностям Ар и Ах вскоре был
придан общепринятый теперь смысл среднеквадратичных отклонений координаты
и импульса, и было найдено Вейлем [134] вошедшее во все учебники по
квантовой механике математическое доказательство этого соотношения.
Соотношение неопределенности для координаты и импульса вызвало желание
получить аналогичное соотношение для других канонически-сопряженных
величин, таких, как, например, проекция момента импульса и угол поворота,
переменная действия и угол и другие. Однако эти попытки встретили на
своем пути значительные математические трудности, связанные с особыми
спектральными свойствами этих операторов. Современное состояние проблемы
соотношения неопределенности для величин типа действие - угол отражено в
обзоре Карузерса и Нието [135].
Особое положение как в связи с физической интерпретацией, предложенной
впервые Бором [136], так и с математическим доказательством занимает
соотношение неопределенности для величин энергия - время. На особенную
роль этого соотношения в вопросе о воспроизводимых измерениях различных
физических величин было указано в работе Ландау и Пайерлса [137].
С другой стороны, делались многочисленные попытки подобрать такой
оператор, чтобы его среднеквадратичное отклонение играло роль At, Этот
оператор тесно связан с временем задержки, введенным Вигнером [140], в
задачах рассеяния и распада возбужденных состояний. Отметим в этой связи
работы Смита [138], Липпмана [139], где такой оператор был построен, а
также дальнейшие работы Лурката [141] и Флеминга [142].
Двойственная роль соотношения неопределенности энергия - время была
подчеркнута в работе Фока и Крылова [143], где это соотношение было
проанализировано в связи с временем распада квазистационарных состояний.
Особенно острая дискуссия велась в работах Аронова - Бома [144] и Фока
[145] относительно физической интерпретации этого соотношения.
В работе Мандельштама и Тамма [146] был описан некоторый класс времен
неопределенности, когда любому оператору физической величины можно
сопоставить свое время неопределенности, которое связано с
соответствующим гейзенберговским уравнением движения.
132
Следуй этой идее, Эберли и Сингх [147] для стационарной системы, матрица
плотности которой удовлетворяет уравнению Лиу-вилля
р = (г/й)[Р, (3.1)
ввели параметр - "время стационарности" Ts:
1/71 = <(Ар)2>. (3.2)
В [147] было показано, что Ts может играть роль At в соотношении
неопределенности энергия- время
А ЕТ.-^П, (3.3)
где (АЕ)2 - ((АЖ)2У, причем среднеквадратичное отклонение для оператора
А_ вычисляется по обычной формуле <(ДД)2> = = Spp(H - А)\ А - SppH. На
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed