Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
переходит в систему уравнений для вектора St:
j$+ - -1со?+; = +itOiS_; 8Z = 0, (3.22)
где S+ = Sx + iSy; S_ = Sx - iSy, со = рвgH/h. Очевидно, что уравнение
Лиувилля обладает интегралом движения L = Н • 8.
125
Вычислик теперь <((ДЙ)2У и Tt для матрицы плотности р ^ = V2 (Е + OiSi).
Находим, что
{{АЖ)2) = (1 - 51), (3.23)
а времена стационарности Ts и т3 совпадают:
Т72 = г;2 = со2 (52 + 52,). (3.24)
Тогда при условиях 52 + S2U Д> О, Ts < оо находим, что соотношение
неопределенности энергия - время имеет вид
ДЕ Ts = h /(1 -5'2)/(52"+ Si) > П. (3.25)
Последнее неравенство очевидно в силу того, что Si + 52 S\ ^ ^ 1. В
случае чистого состояния 52 = 1 и Sx + Sv Д> 0, а Тs <{ оо и (ДЖ)2Т\ =
Й2, что находится в полном согласии с (3.8). Однако наличие интеграла
движения Sz приводит и к другой возможности: пусть Sx = Sv = 0; тогда
матрица плотности имеет вид р = 72 (Е + Saz), причем S <7 1 и (АЖ)2 =
Й2со2 (1 - 52) ,> 0, однако ts = Ts = оо.
Для выяснения физического смысла функции Т (t) и возможности ее
использования для решения конкретных задач обсудим процесс измерения
энергии в некоторой нестационарной системе, описываемой гамильтонианом
Ж (t) = Жо + V (f), (3.26)
где V (t) = 0 при t 0 и lim V (t) = 0.
f-*oo
В начальный момент времени задана матрица плотности Ро = "LW П\п){п |,
где | п) - стационарные состояния гамильтониана Ж0:
Ж о | п> .= Еп | п). (3.27)
Уравнение Лиувилля с начальным условием р( |(=0 = р0 определяет эволюцию
матрицы плотности р(. Пусть в момент времени t производится измерение
энергии Ж о, которое описывается процессом "1" согласно фон Нейману
([149], стр. 261). В результате измерения энергии система,
после измерения, будет находиться в со-
стоянии, характеризуемом матрицей плотности
Pi = S|re><re|W\"(*)> (3.28)
где Wn (t) = <ге | pt | n).
Используя p(, легко подсчитать Et и (ДEt)2 по известным формулам:
Et = Sp (р,^о); (3.29)
(Д?()2 = Sp {р1(Ж0-Е1)2}. (3.30)
126
Таким образом, было произведено два измерения энергии: первое при t = 0 -
этому измерению отвечает матрица плотности р0, которая определяет среднюю
энергию Е0 и дисперсию АЕ0,- и второе в момент времени t - с матрицей
плотности р(, средней энергией Et и дисперсией AEt. Изменение средней
энергии обозначим ЬЕ = Et - Ео. Естественно выбрать в качестве критерия
того, что распределения Wn (0) и Wn (t) существенно различаются (в духе
критерия разрешения Релея в спектроскопии), условие
| 6Я| > АЕ0 + AEt\ (3.31)
их отличие может быть обнаружено в результате измерения средней энергии.
Для простоты исследования (3.31) будем считать, что вначале, при t = 0,
система находится в стационарном состоянии | "о) с энергией ЕПа, тогда
АЕ0 = 0. Для оценки AEt используем
(3.2) и соотношение неопределенности (3.3), тогда (3.31) принимает вид
| ЬЕ | > ПТ-1 (f); | ЬЕ | > Vjfrr1 (t). (3.32)
Формула (3.32) позволяет определить, в какой момент нужно про-
извести измерение энергии, чтобы разрешить энергию начального и конечного
состояний с точностью ЬЕ.
Переходя в формуле (3.32) к пределу f -"- + оо, получаем соотношение
неопределенности в виде
| ЬЕ | Т > Й; | ЬЕ | т > ЧгП, (3.33)
где Т = lim Т (оо), т = lim т (t). В такой форме в рамках тео-
f-юо ? -и"
рии возмущений соотношение неопределенности обсуждается в [53].
Проиллюстрируем вышеизложенное на примере возбуждения гармонического
осциллятора зависящей от времени внешней силой. Гамильтониан этой системы
имеет вид
#(*)= -?- + (3.34)
где / (t) = 0 при t 0 и lim / (t) = 0. Пусть в начальный момент
?-юо
t = 0 осциллятор находится в основном состоянии с волновой функцией 'Г0 =
-=L=-exp(r- где х0 = У~?тг • Легко
у х0у 71 \ J
показать, что решение уравнения Шредингера, отвечающее гамильтониану
(3.34) и имеющее То в качестве начального условия, имеет вид
'РДя) = -т==^ехр Г - + б(*)ж + г'ф0 (*)] , (3.35)
Ух0Уп 1 Ч . J
127
( I
где 6(f) = --i- ^ е1ш(т-оу (т)dr, a cp0(f) = - ^ б2 (т) йт.
0 . 0 Отметим, что состояние (3.35) является когерентным состоянием
осциллятора [94].
Матрица плотности р< = | 'Р*) ( 1F< | определяет матрицу плотности р<
(3.28), где | п> - стационарное состояние осциллятора с энергией Йсо (п +
1/2), а вероятности Wn = (ппе~п)/п\ явля-
ОО
готся распределением Пуассона с п - nWn = V2C066*. Ясно,
что
Et = VaSto (1 + х20дд*); А Е = hs)V х2068*/2. (3.36)
Используя явное выражение для матрицы плотности р4, вычисляем по формуле
(3.4) функцию Т (t), которая имеет вид
Т (t) = /2 (Йм / а-обб*)-1. (3.37)
В случае, когда / (t) равно /0 на интервале t <Г. т и 0 вне него, функция
б равна
8t = e~iu>t80 при t <С т;
бо = /о (1 - eitoT) (Ггсо)-1 при f /> т. (3.38)
Вышеизложенное в случае соТ 5§> 1 допускает простую клас-
сическую интерпретацию на фазовой плоскости р, q или, что более удобно, в
комплексной плоскости когерентных состояний а:
1 / гР . 1 Г пил \ " л
<а = ^ ( Yknm ^ V / Ри ^ = ^ система находилась в ко-
герентном состоянии с а = 0; тогда Ap = YЪт(r)12, Ах = ]/"Й/2тесо и Ар Д.г
