Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
возбужденному состоянию обычного осциллятора.
Функция Грина для рассматриваемого осциллятора со стенкой легко
получается из функции Грина для нестационарного осциллятора без стенки,
определенной в [85], антисимметризацией:
оо ^
G (х2, <2; *lf fi) = ? | nw, 2> <"w, 1| = i ( ^др^Гат ) 2 Х
п=0
X -п (,??_) exp {§¦ [$* - (| + ^)]} .
где (6.4)
it
Р* = |е(М|; У =
и
4* 99
Эту же функцию можно получить интегрированием по когерентным состояниям:
G (2, 1) = л-1 j d2a \ aw, 2><аw, 1 |-
Перейдем к рассмотрению уравнения (6.1) при произвольных значениях
параметра g. Мы будем пока рассматривать это уравнение на полуоси 0 х оо.
Удобно ввести параметр а = V2 (1 + + 8mg/fi2y/2, поскольку во все формулы
g входит именно в такой комбинации. Будем считать, что gy> - Н2/8т, т. е.
что а - вещественное и положительное число. Случай, когда g<y- Н2/8т
(обычно его называют "падением частицы на центр"), рассматривается
отдельно.
Решения уравнения (6.1) для произвольной функции со (t) получены в работе
[115]. Они могут быть выражены через функцию е (<), определенную
соотношениями (1.3) и (1.5) гл. II, следующим образом:
Y (х t) - Г2 (^-Г+1 Г(" + 1) ]Чгха+11' X
Ue2i T(" + a + l)J * Х
хехр(- 2шу+-^-^х2)ь"(-^х2) , (6.5)
где Ln (х) - полином Лагерра, у (t) - аргумент комплексного числа е: е
(t) = р (<) ехр (iy (<)), р и у - вещественные функции, причем, в силу
(1.4) гл. II, р2 (t) у = 1. Полезно также иметь в виду соотношение s/e =
р/р + iy. Функции (6.5) ортонормированы:
ОО
^ Т* (х, t) ^?п (х, t) dx = 6nm, и образуют полную систему о
на интервале 0 </ х </ оо в классе функций, интегрируемых с квадратом
модуля [116]. Если 0 а 1, то существует вторая система квадратично
интегрируемых решений, получающихся из (6.5) заменой а па - а. Однако,
как показано в [117], эти решения следует отбросить по физическим
соображениям. Подробнее этот вопрос мы обсудим ниже, а пока вторую
систему решений рассматривать не будем.
Если частота осциллятора от времени не зависит, то, полагая в (6.5) е (t)
= or1/2 ехр (ibit), получим стационарные состояния с собственными
значениями энергии Еп = Йсо (2п + а + 1).
При g = 0 (а = 1/2) волновые функции (6.5) совпадают с решениями (6.3)
для осциллятора со стенкой в силу тождества [88] Я2п+1 (х) = (- 1)"
22n+1"! xLf (х2).
Если а - целое или полуцелое число, то, как будет показано ниже, решения
(6.5) тесно связаны с радиальными волновыми функциями для и-мерпого
нестационарного изотропного осциллятора.
Рассмотрим интегралы движения, т. е. операторы, коммутирующие на решениях
уравнения Шредингера с оператором ih d/dt-Ж ¦ Как показано в [115], одним
из интегралов является оператор
А = (2тН)~1 [(ерж - г2тх)2 + 2e2mg/x2] = а2 + e2g/hx2, (6.6)
100
где а - линейный интеграл движения (см. (1.2) гл. II) для нестационарного
несингулярного осциллятора. Оператор А неэрмитов.
>•
Очевидно, что эрмитов оператор В = [А, А ]/4 также является интегралом
движения:
В = /Г1 [р2 (t) (pl/2m + g/x2) + (р2 + у) тх2/2 - рр (хрх +
+ рхх)12]. (6.7)
>•
Операторы А, А и В удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
[A,AJf] = AB- [В, А^\ = 2А^; [В, А] - - 2А. (6.8)
В частном случае, когда со (t) = const,
А = ехр (2iu>t) [(рх - imatx)'2 + 2mg/x2];
В = "/*",. (6'9>
Таким образом, В является интегралом движения, совпадающим (с точностью
до множителя) в стационарном случае с гамильтонианом. Отсюда сразу можно
сделать еывод, что решения (6.5) (далее будем обозначать их символом |
ге" - это собственные функции оператора В с собственными значениями 2п +
а + 1. Используя коммутационные соотношения (6.8) и ортогональность
функций (6.5), можно показать, что имеют место соотношения
А | п) = рп | п - 1>; И* | п) = рп+1 | п + 1>;
(6.10)
р" = 2 [п (а + н)]'/!;
| п} = (АУ)п Ъп 10>; Кп = (р!р2... ц") 1
г (а + 1)
22пп\ Г (а + п + 1)
(6.И)
Эти формулы можно непосредственно проверить с помощью явных выражений
(6.5) для | п>, учитывая при этом различные соотношения для полиномов
Лагерра [88].
Используя производящую функцию для полиномов Лагер-
оо
ра [88] 2 Ln{x)zn = (1 - z)~(a+ljexp [xz/(z - 1)], можно построить
77^=0
производящую функцию для собственных векторов оператора В [115]:
G (z, x,t) = ? [Г rjt+V1] /J Tn(x't] ZH =
n=D
= [2 Ша+1 Гxa+4t(1 _ s)4a+1) exp ("S' ¦T x2 + IT ^ t^t) ;
s = ze-2iv; | z| < 1; (6.12)
101
формально ее можно представить в виде
оо
G (z, X, t) = [Г (а + 1)]*/. ? ("! 2") 1 (zA*Y 10> =
П=0
= [Г(а + -1)]'/.ехр(-^)|0>.
Можно построить и другую производящую функцию, являющуюся в какой-то мере
аналогом нечетных когерентных состояний для осциллятора, о которых
говорилось в § 9 гл. I.
ОО
Легко проверить, что функция | а) = 2) а2пХп|га> является соб-
71=0
ственной функцией оператора А:
оо оо
V "1 п^п V "Ч гт^И
А I а) = у А I п} = \ -I п - 1) = сх21 а).
1 Z_l Р#2 • • • 1 Z_l Р1Р2 • • • H-"_i 1 1
71=0 71=1
(6.13)
Нормированные собственные функции оператора А имеют вид
ОО
I а> = [Г (а + 1)]-ЗД (I а I )?а2Ч" | н> = N (| а |) (Щ'!г х
