Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
А* и [А, А'1'] являются обобщением операторов а2, а*2 и аАа, легко
перенести и результаты работ [19, 121] на рассматриваемый случай.
Вычислим в нашей задаче оператор Казимира М2 (М+ = V2 А*; М_ = = - У2Л;
М3 = Х/2В). Проще всего это сделать, вычислив с помощью формул (6.10)
средние значения М2 по состояниям | riy и убедившись, что все они
одинаковы:
Таким образом, все решения обсуждаемого сингулярного осциллятора можно
рассматривать как базисные функции одного бесконечномерного неприводимого
представления алгебры Ли группы О (2,1), задаваемого оператором Казимира
(6.46).
В качестве примера применения метода интегралов движения рассмотрим еще
раз неквадратичную систему (6.1) методом инвариантов. Рассмотрим
следующие операторы:
Если обозначить через Qj интегралы движения, совпадающие в начальный
момент времени с операторами qj, то нетрудно проверить, что Qj линейно
выражаются через q} по следующим формулам:
Функция Грина является решением уравнений типа (5.15):
М2 = V* (В2 + 2В - АА*) = V* (а2 - 1). (6.46)
?i = z2; q2 = р2 + 2 g/x2; q3 = хр + рх. (6.47)
[Г2
Ь2
'"I-1 - 2А.|а
Функции к (t) и ц (t) являются решениями уравнения
Z + CD2 (t) Z = 0,
удовлетворяющими начальным условиям
(6.48)
(6.49)
к (0) = ц (0) = 1; к (0) - ц (0) = 0.
(6.50)
ПО
9} И G (?"?в. О = <$ ЫG. t)-
(6.51)
Единственным решением этих уравнений, обращающимся в нуль при х = д;0 = 0
и совпадающим с дельта-функцией при t -* О, является функция
G (Х, Xq, Q =
где а = V2 (1 + 8g)'/2 (U = т = 1); Ja - функция Бесселя. Итак, мы другим
способом вывели формулу (6.4).
§ 7. О нормальных координатах
в фазовом пространстве квантовых систем
В § 5 были построены новые уравнения для функции Грина G(x, х0, t) (где х
= (xlt х2, .. xjv), N- число степеней свободы) произвольной квантовой
системы и показано, что эта функция является собственной функцией
интегралов движения q0, имеющих смысл операторов, начальной точки
траектории системы. Для одномерного осциллятора и заряда в
электромагнитных полях аналогичные уравнения были использованы также в
[122]. Цель настоящего параграфа состоит в исследовании свойств симметрии
квантовой системы не на основе уравнения Шредингера для волновой функции,
зависящей от N переменных хг, х2, . . ., хя, а на основе системы
уравнений для функции Грина G (ас, 'ас0, t), зависящей от 2iV переменных
(х,х0). Мы применим также эти уравнения для введения аналога нормальных
координат для квантовых систем.
Сущность подхода заключается в том, что при рассмотрении уравнений для
функции Грина становятся допустимыми замены переменных в 2N-мерном
пространстве (х, х0), а не в пространстве N измерений, что позволяет
вводить более общие преобразования, чем при рассмотрении уравнения
Шредингера для волновой функции (см. [123]). Эти преобразования,
очевидно, включают в себя как частный случай все канонические
преобразования в фазовом пространстве системы (х, р). Для доказательства
этого достаточно построить преобразование Фурье G(x, р, t) функции Грина
G (х, ас0, t) по переменной х0.
Уравнения для функции Грина, введенные в § 5, имеют вид
где 2]V-MepHbra операторный вектор Q является интегралом движения,
имеющим смысл оператора начальных координат в фазовом пространстве:
Г 1 ехр [ - -g- (a -f 1) я -f -^(ря2 +
Я4)] , (6.52)
\Q (ас, -§j) - Q'(ac0, -^-)}G(x,x0,t) = 0, (7.1)
(7.2)
111
a 2iV-MepHbift вектор O' равен (id/dx0, ас0); V- оператор эВОлВЩНИ
квантовой системы (функция Грина есть ядро этого оператора в
соответствующем представлении).
Под симметрией квантовой системы будем понимать теперь симметрию
уравнения (7.1) в смысле определения из первой главы, т. е, существование
системы операторов Bt, удовлетворяющих условию
(Q ~ Q') BtG = 0 (7.3)
на классе функций G, удовлетворяющих уравнению (7.1). Такой подход
позволяет существенно расширить количество операторов симметрии квантовой
системы по сравнению с количеством операторов симметрии уравнения для
волновой функции ЧДос, t). В частности, можно рассматривать все
кононические преобразования типа G' (х, х0) - SG(x, х0), что эквивалентно
переходу к новым операторам: х-" S_1 xS; х0 -> S^x^S; d/dx-^S-1 д/дх S;
д/дх0 -> S_1 d/dx0S, где ядро оператора S зависит уже от 4JV переменных.
Далее будем рассматривать еще более частный случай преобразований Bi,
сводящихся к замене переменных
у = у(х,,x0,ty, y0^y0(x,x0,t). (7.4)
Под обобщенными нормальными координатами квантовой системы будем понимать
такие переменные у, у0, для которых функция Грина может быть представлена
в виде произведения N функций G]t (у}с г/од-, 0, каждая из которых
зависит только от двух переменных ук и у0(к = 1, 2, . . ., N).
Существование таких координат означает возможность "расцепления" весьма
сложной в общем случае системы интегродифференциальных уравнений
(7.1).
Покажем, что обобщенные нормальные координаты всегда существуют для
системы с произвольным квадратичным гамильтонианом вида
Ж = Va йВ (t) q + С (t) q + Ф (t). (7.5)
