Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
П=0
(im & 9 . а2 е* \ т (ха -• Г 2т \ . /п А /ч
-2Й1ГХ'' + Т-- У -у <6-14)
N (| а |) = [1а (| а I2) | а2/2 рН'.
Здесь /а (х) - функция Бесселя порядка а, 1а (х) - модифицированная
функция Бесселя [88]. Формула (6.14) следует из производящей функции для
полиномов Лагерра [88]:
Vs! K(x)zn п
Yj TF+мЛ)- = (^"/2'eZja (2 V XZ) •
П=0
Если а= 1/2, то функции (6.14) совпадают с точностью до множителя | а |/а
с нечетными когерентными состояниями для осциллятора со стенкой (6.2),
так как /1/2 (х) = (2/пх)1/* sin х.
При вычислении скалярных произведений векторов | а> используется интеграл
[88]
ОО
J J a (at) Ja (fit) e-y"t dt = (2y)-1 exp (- /" (-|&-)' .
(6.15)
0
Легко видеть, что состояния | а> не ортогональны друг к другу: <а 1 р> =
N (|а |) N (| 0 |) (а*р/2)-?/а(а*Р)г.. (6.16)
Поскольку оператор А неэрмитов, то в спектр его собственных значений
входят все комплексные числа, тогда как оператор
102
АТ вовсе не имеет собственных функций. Последнее утверждение может быть
доказано с помощью соотношений (6.10) точно так же, как и для оператора
at в случае обычного осциллятора.
Не представляет труда вычислить средние значения оператора В (т. е. в
стационарном случае среднюю энергию) как в состояниях
(6.12) (обозначим их символом | г",так и в состояниях |а> (6.14). В
первом случае используем соотношение
ОО
g(-+•)*-,.("Г)^^:;'.,. (6Л7,
Тогда
/R\-ilL(r)lz> - у г (а + п + 2п + а + 1 I z\>n /а I л\ 1 + I z I2
<z | z> Zj г (п +1) <7]7> lzl
п=0
(6.18)
Во втором случае, используя определение функций Бесселя, полу-
чим
оо
2 п
<. | в | .> - (|. 1) ? t~hr -1+1. ¦ •м''1 |а>
;а(М2) (6.19
В частности, для осциллятора со стенкой (при а = V2)
<сци |В | ctw> = V2 + | a |2 сth (| a |2). (6.20)
Рассмотрим теперь функцию Грина уравнения (6.1), которую
ОО
можно вычислить по формуле G (2, 1) = 2 | 2) <та, 11, исполь-
п=0
зуя одну из производящих функций для полиномов Лагерра [88]:
ОО
?г|. + н.)й1Ш^
" -пг7"хр(- zT=l) -^) ¦
После проведения вычислений получаем G (х2, <2'> ^1, <i) = (/&pip2 sin
у)-1 m (х1Х'2)' гехр |? - i (a + !)-*?-] +
Обозначения здесь те же, что и в (6.4). В частности, при а =?=' х1ъ
получцм функцию Грина (6.4) дхя осциллятора со стенкой. Рассмотрим два
частных случая формулы (6.21):
103
1) со = const. Тогда р = со_1/г; р = 0; у - со (<2 - Ч) = соТ;
1) ггш(х^ j / \ ехр Г -\m(0 (sf + ag)] . (6.22)
v ' ' h sin ш7 " \ ft sin co2 1 r . 2ft tg шГ 4 1 ' 2' 4 '
Отметим, что в этом случае функция Грина была получена методом, близким к
фейнмановскому интегрированию по путям, в работе [118].
2) со = 0. Результат можно получить либо переходя к пределу со ->¦ 0 в
(6.22), либо полагая е (t) = 1 + it в (6.21):
G (2, 1) = пг (хххг)11* (НТ)~Ча ( ) ехр {х\ + х22) - I (rt +2^ л
(6.23)
Рассмотрим амплитуды и вероятности переходов между энергетическими
уровнями. Пусть со (t) = coiu = const при t > - оо и со = cot = const при
t -> + сю. При t -> - сю име-ются стационарные состояния, определяемые
формулой (6.5) с е = со["п/! ехр (ioW); обозначим их через | п, in>.
Стационарные состояния при t -> оо с е (t) = coF*/2 ехр (ccoft) обозначим
через | п, f>. Через | п, обозначим решения уравнения Шредингера,
совпадающие при t -> - оо с | п, in>. Дальнейшая эволюция этих состояний
определяется в конечном счете эволюцией функции е (<). Амплитуда перехода
из состояния | п, in> в состояние | пг, f> равна Тп = (.m, f | п, t ->
оо>. При вычислении этого интеграла полиномы Лагерра были выражены через
вырожденную гипергеометрическую функцию [88], а затем использовалась
формула (f, 10) из [88]. Получающаяся в результате гипергеометрическая
функция в данном случае сводится к полиному Якоби [88], и окончательный
результат таков:
Tm f п\ Г (т + а + 1) у/г г>(т~п, ") U о I Л 2\
п L "Г Г(я + а + 1) J Л ё ё I I Т /
ml Г (n f "+i) I'/s ! a) 1,1 о I H I2
ИГ Г (m + a+1) J ё ё Ит ' ITI
(6.24)
Здесь l и г| - постоянные комплексные числа, определяющие поведение
функции е (t) при t -> сю:
е (t оо) = cof1/2 (?>*' - г\е~1<Л{1). (6.25)
На | и г| наложено одно ограничение, вытекающее из коммутационных
соотношений: | || 2- | ц |2 = 1. Матричный элемент (6.24) выражается
через интеграл, вычислявшийся выше при получении амплитуды перехода между
уровнями Ландау в переменном магнитном поле. Параметр а в этом случае
целый, но, поскольку выражение матричного элемента аналитично по этому
параметру, естественно, что ответ получается в обоих случах одинаковым.
104
Вероятности перехода при т п равны
WГ = | К |2 =
__ Г (а + m + 1) n|m-n| /т R\a+1 I a) 9 13.
m! Г (a + re + 1) ( П) .1 " ' ' I '
Л = IX Г ¦ <6-26)
Если m n, то в правой части нужно поменять местами т и п. Таким образом,
вероятности перехода выражаются через единственный параметр R, который
можно рассматривать как коэффициент отражения от некоторого
потенциального барьера. Отметим симметрию формулы для вероятности
перехода W(tm) = Wm-Как частный случай приведем формулы, описывающие
возбуждение основного состояния:
