Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
mN пГ nN • fN ,
ту=0,
гдет u - diag (1^, u2, . . uN)-, v - diag-(vlt v2, . . ., vN); I u} I =
yy-1^ -
Вычисление гауссовского интеграла в (4.11) дает следующий результат:
" ¦ :: ;
•Ф(и, v) = 22N I <0if|0; />p(del?fi) 1 * exp Q-^L^L), (4.12)
86
где
Е =
2 + Е D !Ui 0 б3Е*з3 б3D*s31 Гб3 0
0 2 + Г | 1 0 Гб3 0 63^*63 fl 0 Гб3
D =
Щ +>з -i(w2 + w3)
* (и'а "Ь н'з) - ^2 - |!
F =
Ш4
iu>4
(4.13)
и 0 1 . т/ IIv 0
0 и г v==k v
? =
/(1 + v)sx\ {l-v)Si ' (1 + и) Si
41 -") V
tt/j (t'2
U>3 U>4
Мы разбили матрицу И7 иа блоки порядка N: W =
и аналогично вектор S = . Таким образом, SP есть матрица
размером 4N X AN, вектор L имеет AN компонент.
Для перехода вакуум - вакуум имеем
<0; f 10; О = 2,v/2 (det рД^ ехр (ф + ф* + х/г v0piv0), (4.14)
где pi = (р + pi)-1, v0 = -йГрк.
Полученные формулы полностью решают.задачу о поведении любой квадратичной
системы. Отметим, что получение в явном виде интегралов движения,
когерентных состояний и амплитуд перехода для таких систем отвечает
возможности вычислить для них явно гауссовский интеграл по траекториям.
Все рассматривавшиеся до сих пор задачи с когерентными состояниями
являлись частными случаями именно квадратичных систем.
§ 5. Инварианты и функция Грина
В работах [104-107] был выяснен еще один аспект интегралов движения
(1.1). Оказывается, что функция Грина является решением нового уравнения,
определяемого инвариантами q0, ро-Так, из физического смысла функции
Грина как амплитуды перехода из начальной точки в конечную и физического
смысла интеграла движения д0 как оператора начальной координаты вытекает,
что
д0 (ас) G (ac, ас0, t) = x0G (х, ас0, t). (5.1)
Это легко проверить, исходя из соотношений (1.1) и из того, что G (ас, ас
в-, t) = U (Дб(ас - ас0). Можно легко доказать справедливость еще одного
соотношения, а именно:
. />" (ас) G (ас, ас0, t) = ifi - G (ас, ас",
i),
а также соотношения
q (ас0) G (ас, ас0, t) = xG (ас, ас0, t);
(5.2)
(5.3)
87
здесь q (х) = UTx (Нт) *, a q (х0) действует в (5.3) на переменную xZ
Соотношения (5.1) и (5.2) можно переписать также в форме, использующей
представление функции Грина системы через интеграл по траектории, а
именно:
Эти соотношения, разумеется, справедливы для произвольных динамических
систем, т. е. систем, описываемых уравнениями типа уравнения Шредингера и
обладающих операторами эволюции. Часть уравнений (5.4), (5.5), а именно
уравнения (5.4), была написана для интеграла по траекториям произвольной
динамической системы в работе [108].
Соотношения (5.1), (5.2) или (5.1), (5.3) определяют функцию Грина с
точностью до фазового множителя, зависящего от времени и определяемого из
уравнения Шредингера. Часто оказывается, что решать систему уравнений
(5.1), (5.2) гораздо легче, чем обычное уравнение для функции Грина,
если, конечно, независимо известен явный вид всех интегралов движения,
которые необходимо находить заранее. Как в классической механике знание
всех инвариантов эквивалентно нахождению решения уравнений движения или
действия как производящей функции канонического преобразования, задающего
переход от начальных точек q0, ро к текущим q0 (t), р0 (t), так и в
квантовой механике знание всех интегралов движения дает возможность
определить эволюцию системы, т. е. найти функцию Грина. Докажем
соотношения (5.1),
(5.2). Введем для удобства 2Л/'-мерный вектор q = (р, х). Тогда формулы
(1.1) принимают вид Q = UqU~x. Отсюда сразу следуют уравнения (5.1),
(5.2), поскольку если QU = Uq, то для ядра G оператора V выполняется
уравнение Q (x)G = gT (x0)G. Коммутационные соотношения операторов Qj
сохраняют свой вид в любые моменты времени, что аналогично сохранению
скобок Пуассона, вычисленных для координат и импульсов q0 и р0и связанных
с ними каноническим (касательным) преобразованием координат q и р.
X
<2-0 (эг)§ ехр [-^-5 (х, х0, о] 3.*)х (*) =
X
(5.4)
И
х
Ро (ас)^ ехр -i- S (х, х0, *)] SDx (t) =
X
= 'Й -^jr § ехр ^ S (х, х0, О] (r)х (0- (5-5)
88
Поясним, следуя [104], вывод соотношений (5.1), (5.2) следующим способом.
Заметим, что в начальный момент времени функция Грина равна б-функции:
G (ас, ас0; +0) = б (ас - ас0); G (ас, ас0, t) = ?76 (ас - ас0), (5.6)
и что действие оператора q на б-функцию как на функцию первого аргумента
ас равно действию транспонированного оператора дт на б (х - ха) как на
функцию второго аргумента х0:
q (ас) 6 (ас - х0) = дт (эс0) б {х - ас0) (5.7)
(запись / (ае)Чг {х, у) означает, что оператор / действует на функцию Т
как на функцию от переменной ос, а у при этом считается параметром;
напомним, что хт = х, рт = -р).
Действуя на обе части равенства (5.7) оператором эволюции U, получим
(Uq) (х) б (х - ас0) = (UqU^U) (х) б (х - х0) = Q {х) G (х, х0, t); U
(ас) дт (ас0) б (ас - ас0) = gT (ас0) U (ас) б (ас - ас0) = gT (ас0) G
(ас, х0, t).
Следовательно, функция Грина удовлетворяет следующей системе из 2N
уравнений:
Q (ас) G (ас, ас0, t) = qT (ас0) G (ас, ас0, t). (5.8)
