Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
грТП ____
1 0 -
771
171
")
-(m+a+i).
(т + сг Wo = [ т }Rm{l- R)a
(6.27)
(6.28)
Легко проверить, используя формулу (6.28), что 2 = 1.
О=т
Производящую функцию для амплитуд перехода можно получить,
ОО
вычислив интеграл ? G* (и, х) f) G (2, х\ t) dx. В результате полу-
чим
оо
S
п, тп-о
а -р т\ а + п а !\ а
ТпХпут = (? Г|*? - Г|У - ?*Xy)-(0+1h
(6.29)
Вторую производящую функцию получим, вычисляя амплитуды переходов между
состояниями |a, in> и |а, f>. Ее можно представить в таком виде (при
вычислениях используется формула (6.15)):
грт ,2п лт
_____________ Tl 1 2___________
2-J [ге! т! Г (а -f- re -j- 1) Г (а + т -f 1)]*^2,
п, 771-0
= г1 М-а ехр (Л1а (. (6.30)
Поскольку амплитуды переходов выражаются через полиномы Якоби, то из
формул (6.29) и (6.30) можно получить производящие функции для этих
полиномов [44, 119].
Рассмотрим предельные случаи полученных точных формул для вероятностей
переходов. Одним из них является случай медленного (адиабатического)
изменения частоты. Точнее говоря,
105
рйСсМо'грйм такой еид Зависимости to от времени, когда] со/со4 |<1. Тогда
иЛ<1, и можно разложить точную формулу (6.26) в ряд ио степеням R,
ограничиваясь старшими членами:
,т т! Г(ге + а+ 1) Л|тп"тг|
ге! Г (тп + а -|- 1) (| тп- ге |!)а
X
X
1 -
2rerei -{- (а -{- 1) (ге -{- тп -{- 1) тп - п + 1
1)(2п + 1)]Д4-
R 4- ... , тп > п; (6.31)
Wn = 1 - [2п2 + (а
Как видно из этих соотношений, ограничиться старшими членами в разложении
по степеням В можно лишь для относительно небольших квантовых чисел,
когда выполняются условия Bnm<^L\ и Впа 1.
Другим предельным случаем, в каком-то смысле противоположным первому,
является квазиклассический, когда квантовые числа п и тп велики.
Используя асимптотику полиномов Якоби [88] и формулу Стирлинга для гамма-
функции, получим
w:
(6.32)
Здесь В = sin2 (0/2); N = V2 (п -f m -f а + 1). Эта формула справедлива,
когда п -> оо, тп ~> оо, а \п - m \ - const. Если NQ^> 1, то можно
воспользоваться асимптотикой функций Бесселя и написать
~~шclg ~гcos2 (т - '"1т| 11 - -г) • (6-33)
Рассмотрим также приближенную формулу, описывающую возбуждение очень
высоких уровней. Используя формулу [88]
(а, Р)
lim а~пР
Ct-> оо
получим, ограничиваясь главным членом _а+2п.
Ш Dm-п /л D\2n+a+l
rel Г (а + п + 1)
Rm~n (1 - В)
(6.34)
/та -> ос.
(6.35)
Аналогично можно получить приближенную формулу для случая а -> оо, т /> п
(если а - целое или полуцелое число, то эта формула приближенно описывает
переходы между энергетическими уровнями п-мерного изотропного осциллятора
в состоянии с очень большим моментом):
Г (тп -|- a -[- 1)
иС
"2 п
а nm-t-n
Rmra (1 - R)a
(6.36)
Г (re -|- а 4- 1) rel ml
Если " = 0, то эта формула совпадает с точной (6.28). Однако при очень
малых R она неверна (при Я = 0 получим W(tm) = 0, если
106
п тп Ф 0). Таким образом, формулу (6.36) следует применять, если aR ^ 1.
Обобщим полученные результаты на случай многомерного изотропного
осциллятора [65]. - - • . .
Рассмотрим систему с гамильтонианом
Р+2 г Р+2
'*-?**• (6-37)
Если р = 1, то это - пространственный изотропны(r) осциллятор. Гамильтониан
(6.37) инвариантен относительно группы вращений в (р + 2)-мерном
пространстве, поэтому решения уравнения Шредингера для него могут быть
выбраны в виде Т (ас) = = R (г) Y (01, 02, . . .), где Y (0Ь 02, . . .) -
известные функции (сферические гармоники [88]), являющиеся обобщением
сферических функций YUm (0, ср) для обычного трехмерного пространства.
Уравнение для радиальной волновой функции при этом имеет вид
8R S! /М . р|1 SD Z(Z + i)R\ , (maW K\D
lh - - lip- + ~~дГ - --75-j +-+ 7Ш
... (6.38)
где I - целое число, и является обобщением абсолютного значения момента в
трехмерном случае. Поскольку в (6.38).входит лишь I, а другие угловые
квантовые числа не входят, то каждый уровень энергии вырожден (21 + р) (I
+ р - 1)Ш\р\ раз. Обозначив R = - г~(р+1)/2^ мы получим для % (г)
одномерное уравнение Шредингера (6.1), в котором нужно положить g = К +
(h2/2т) [Z (I + + р) + (Р2 - 1)/4]. Таким образом, все ранее полученные
результаты переносятся и на случай многомерного осциллятора. В частности,
функция Грина может быть представлена в виде ряда
G(2,1)- 2 Gi (r2, Ш rlt tx) Yit m,... (0lt 02i...) Yit m,... (0!,
02,...),
I, m,...
(6.39)
где Gi - это вычисленная по формуле (6.21) функция Грина для заданного
квантового числа I. В случае К - 0 ряд (6.39) вычисляется и дает
квадратичную экспоненту [72].
Задача о движении заряженной (для простоты бесспиновой) частицы в
однородном магнитном поле с вектор-потенциалом ш (I) X г 12] и в
электрическом поле с потенциалом К/(х2-.-\- у2) также сводится к уже
разобранной нами, поскольку уравнение (в цилиндрических координатах) для
радиальной части волровой функции совпадает в этом случае с (6.38) при р
= 0.
Приведем для этого случая явные формулы. Так, состояние | ", Z, pfy> с
рлавцым квантовым числом п, проекцией момента I
т
и импульсом йдоль поля pz имеет вид
