Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Эти уравнения - краткая форма записи соотношений (5.1),
(5.2):
д0 (ас) G (ас, ос0, t) = ac"G (ас, ас0, t)] (5.9а)
Ра (ас) G (ас, x0,t) = ih^G (ас, ас0, 0- (5-9б)
Функция Грина G (ас, ас0, t) является собственной функцией оператора
начальной координаты qa. Этот факт является, очевидно, следствием
определения функции Грина как амплитуды вероятности перехода из начальной
точки ас0 в конечную точку ас и физического смысла интеграла движения qa.
Система уравнений (5.9а) является совместной, поскольку все операторы
д0,г коммутируют друг с другом. Эти уравнения определяют функцию Грина с
точностью до произвольного множителя, зависящего от ас0, t : G (ас, асо,
t) ~ G0 (ас, ас0, t) / (ас0, t), функция / (ас0, t) может
быть
получена из уравнений (5.96) простым интегрированием. Урав-
нения (5.9) дают функцию Грина с точностью до множителя, зависящего
только от времени. Чтобы найти этот множитель, следует подставить функцию
G (ас, ас0, t) в уравнение Шредингера и учесть начальное условие (5.6).
В уравнения (5.8) переменные ас и ас0 входят несимметрично. Можно
написать вместо (5.96) уравнение, по форме аналогичное (5.9а), но в
котором ас иасо меняются ролями. Для этого введем оператор Y = q (ас):
Y = UTx {Uy1 = {U-'xU)1. (5.10)
89
Для доказательства соотношения (5.3) достаточно учесть, что G (х, зсо, 0
= ^(х0) б (х - х0). Сравнивая формулу. (5.10) с вытекающим из (1.1)
соотношением х = U~xgHU, можно получить следующий рецепт для построения
оператора Y. Допустим, что оператор х можно выразить как функцию от
операторов д0 и Ро: х - /(О'о) Ро)- Тогда операторУ можно представить в
следующем виде:
У = [/(х, р)]т.
Хотя в начальный момент времени оператор У совпадает с оператором х, он
не является иптегралом движения для системы с гамильтонианом Ж, так как У
удовлетворяет не уравнению (2.4), а уравнению
'F = 0; Ж' = {и^Жиу. (5.11)
Если гамильтониан Ж от времени не зависит, то операторы Ж и U
коммутируют, так как в этом случае V = ехр (-iMt/Ti). Тогда Ж' = ЖУ-
Поэтому уравнение (5.3) наиболее удобно в случае стационарных
симметричных гамильтонианов, ибо при этом операторы д0 и д совпадают.
Иногда может оказаться удобнее работать не с оператором Q, а с какими-
либо функциями от него, например tp (Q), которые также являются
интегралами движения. Тогда уравнения (5.8) заменяются, очевидно,
следующей системой:
[ф(0)1 (x)G(x, х0, t) = [q>(g)]T(жо)G(ж, х0, t). (5.12)
Аналогичным образом видоизменяется и уравнение (5.3). Можно переписать
соотношение (5.12) в виде уравнения на собственные Значения для интеграла
по траекториям. Оно выглядит следующим образом:
X- ...
[ф (0)1 И ^ ехР ["у S(x' *о, О] 25* (0 =
"О
X
- [ф Шт (хо) ^ ехр [-^-?(эс, аг0, t)^S)x[t), (5.13)
Хй
и обобщает соотношения (5.4), (5.5) на случай произвольной функ-ции от
интегралов движения д0 и ро-
Уравнения, аналогичные (5.8), могут быть написаны и в любом другом
представлении. Все они получаются по следующему правилу. Пусть имеются 2N
независимых операторов dj, f = ='Г, 2,. . .,2 N, а функция Грина зависит
от переменных ужу0. Пусть в начальный момент времени действие операторов
dj на первый аргумент функции Грина эквивалентно действию каких-то
операторов ф(^) на второй аргумент:
d{y)G{j/)p0,\)) = [ff.(d)](yo)G{y,yo,0). (5.14)
90
Тогда, вводя интеграл движения D =? V dU \ получим для функции Грина
уравнение .........
D(y)G{y, 2/о, 0 = [<p(d)]{yo)G(y, y0,t). (5.15)
В частности, в импульсном представлении снова получим уравнение (5.8), в
котором нужно, очевидно, сделать замену х р и учесть, что в этом
представлении рт = р, а х1 = -х. Уравнения (5.9а) и(5.9б) справедливы и
для функции G (р, х0, t) -.амплитуды перехода из состояния | аг0) в
состояние | р) за время t, нужно только заменить ае на р.
Эти уравнения можно получить по указанной схеме, если учесть, что
G (р, х0, 0) = (2яй)-^/* ехр ( lj- рхй) .
Рассмотрим еще одно встречающееся представление, а именно представление
когерентных состояний [61, 63, 64], в котором каждому кет-вектору | /)
ставится в соответствие целая аналитическая функция комплексного
аргумента а: / (а*) = ехр (72 | а |2) (а | /> (звездочка означает
комплексное сопряжение), где (а | - это эрмитово-сопряженный вектор к j
а) -собственному вектору неэрмитова оператора а, удовлетворяющего
следующим коммутационным соотношениям:
-j'
[оц а*] = 0; [aj, а*] = 6Л; а,|а> = а,|а>, (5.16)
где а = ("!, а2! • • •> алг) может быть произвольным комплексным
вектором. Операторы а и действуют на функции /.(а*) по формулам
а/("*) = /(а*)' а'1/(а*) - "*/("*), (5.17)
а ядро единичного оператора в рассматриваемом представлении равно G (".*,
р, 0) = ехр (а* Р):
/ (а*) - I ехр (гх*Р) / (Р*) du (Р); ;
¦ rfu (Р) = д-у ехр (- | р |2) d (Не Р) d (Im Р). '
Поэтому формула (5.14) в данном случае принимает следующий вид:
Or(a) е"*Р = ре"*Р = ат (Р) а* (а) е"*Р = (а|> (Р) е"*Р
(5.1.9)
(яд второй аргумент, очевидно, нужно действовать не операторами а и а^, а
