Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Малкин И.А. -> "Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем" -> 37

Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.

Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем — М.: Наука, 1979. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskiesimmetriiikognetivniesostoyaniya1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 123 >> Следующая

Пусть матрица Я3 не вырождена. Тогда эти уравнения легко интегрируются и
функция Грина имеет вид экспоненты от квадратичной формы: -
G (х, аго, t) - ехр |ср (t)-^ [x'k31'kix - 2хХ3 Хо -г ' - '
+ х0ХДз Хо -Г 2хк3 62 4" 2х0 (6i - к\к3 62)]| . (5.35)
Заметим, что для совместности написанных уравнений необходимо, чтобы
матрицы Я3* Х4 и были симметричными. Но эта Симметричность является, как
легко проверить, следствием соотношений (5.33). : ' --
Для функции ф (t) после подстановки в уравнение Шредингера получается
следующее, уравнение: ¦
Ф = ~2~ Sp (Я3 7-4^1 - b3) -j- -j- С\к3 62--2f- б2Я3 Ыа $2----Ф-
Это уравнение дегкр'интегрируется, если учесть следующие соотношения,
вытекающие из уравнений (5.31): Я4&4 = -А3 -f- f.3b3,
94
б2 = Л3с2 - а также .тождество, Sp 1А,-1.== (d/dt) In det К (t)..
Константа интегрирования определяется требованием, что при 0 G ->- 6 (х -
х0). Поэтому окончательное выражение для функции Грина следующее: ,
G (х, x0,t)== (2яih)~N/2 [det (- Я3)]-'/" ехр |- j^xA^A^x - v - 2хА3 х0 -
j- x0AiA3 х0 -Ь 2хА3 62 -Ь 2хо (6^ -- AjA3 62) "Г
t . ..
+ бг^Аз1^ - 2 | (6162 - Ф) dt]}det А3 фО. (5,36).
о
Оно совпадает с (4.8), если t2 = 0, х2 = х и учтены естественные
соотношения типа (5.33).
Канонические преобразования типа (5.30) и их приложения к некоторым
физическим проблемам изучались также в работах [109, 110]. При этом для
ядра преобразований были получены выражения, аналогичные (5.35), но с
точностью до фазового множителя и с ограничением унитарными
преобразованиями (т. е. в предположении, что матрица Л вещественна).
Функции G (р, р0, t) и G (р, х0, t) вычисляются аналогичным образом.
Чтобы из формулы (5.36) получить G {р, р0, t), следует сделать следующие
подстановки: х -> р\ А3 ->¦ А2; А4-*-А4; 62 ->¦ -*¦ 64; i -> -i, а чтобы
получить G (р, х0, t), нужно заменить х -> р\ А3 -> А4; А4 -> К2, кроме
того, поменять знаки перед всеми членами, содержащими р, и убрать
множитель (-i)~Nl* перед экспонентой.
Еслц матрица А3 вырождается, но det А4 ф 0, то функцию G (х, х0, t) можно
получить преобразованием Фурье из функции G (р, х0, 0> так как последняя
в этом случае особенностей не имеет. Поскольку матрица А^Ад симметрична,
то некоторым ортогональным преобразованием S (будем считать для простоты
гамильтониан эрмитовым) ее можно привести к диагональному виду:
А4*А з = ;S~1 diag (р4, р2, . . ., рь 0, ., 0)5" (р;- ф 0, / < к).
(5.37)
Следовательно, если при вычислении интеграла Фурье по р сделать
подстановку Sp = у, то, интегралы по у j, / к, будут гауссовыми, а
остальные. 7V- к интегралов дадут 8-функции. В результате вычислений
получается следующее выражение для функции Грина в фокальных точках:
G\x, Xo, t) = (- 2nihyN/'2 (det >.4)_I/j oxp-| - ^XoAsA^x,, +
t
r"T 2X)j (61-- A2A4 62)-f-62A2A4 62-2 ^ (6162 - Ф) dxJj: X
J 0
- к _ N
X ПфТ^ехр П 6\z;)7 (5.38)
3=1 j=N-i
95
здесь z = S (ас - + ^ба)• Если det Х4 = 0, но det Х2 Ф О
или det Я,4 =?ь 0, то выражения, аналогичные (5.38), можно получить,
вычисляя преобразования Фурье от функций G {р, р0, t) или G (ж, р0, t).
Случай, когда все четыре Х-матрицы вырождаются одновременно, рассмотрен
ниже.
Вычислим теперь функцию Грина в представлении когерентных состояний.
Ограничимся при этом случаем эрмитовых гамильтонианов (как видно из
предыдущего, это не принципиальное ограничение, но в данном случае оно
позволяет несколько упростить формулы, так как вместо четырех матриц типа
Х;-, / = 1, 2, 3, 4, достаточно ввести только две). Произвольный
квадратичный эрмитов гамильтониан можно представить в виде
Ж = Va [a*d0a + ad*a? + ad^a + a^d*a^] + fa -f- f *a(5.39)
причем iV-мерная матрица d4 симметрична, а матрица d0 эрмитова. Интеграл
движения А = UaU_1 имеет вид
А = l(t)a + ti(0"+ + Y> (5-40)
где матрицы | и ц и вектор у являются решениями уравнений ih\ = - ld0 -f-
т]^; I (0) = EN]
ihr\ = - gd* + ri<io; ц(0) = 0; (5.41)
ihy = - If* + r\f, v(0) = 0.
Поскольку коммутационные соотношения между операторами Aj
и F-ц = UaXU"1 во времени не меняются и, кроме того, F = А^> то матрицы g
и ц удовлетворяют тождествам
Ц* - тру=?у, fn = г)|; Ъ*1 - 1]1]* = Ею = 1ц*. (5.42)
Первое из этих тождеств означает, что для произвольного вектора z
выполняется соотношение (z, z) = (z, z) + (ц z, ц z) > (z, z).
Следовательно, матрица | является невырожденной (иначе нашелся бы
ненулевой вектор z, для которого ??z = 0). Поэтому функция Грина в
представлении когерентных состояний всегда имеет вид экспоненты от
квадратичной формы, т. е. нигде не имеет особенностей. В этом одно из
преимуществ представления когерентных состояний.
Решая уравнения (5.20) с учетом явного вида оператора А (5.40) и тождеств
(5.42), получаем следующее выражение для функции Грина:
G (а*, р, t) = (det |)-'/* ехр [-^-а*|-1т]а* + а*ГгР + -g-PilT1? -
t
- + Р (Y* - t1*?-1Y) + \ yiff^ + ^ YY* dr ] . (5.43)
0
96
Функция Грина G (а*, р, t) является производящей функцией для функции
Грина G (т, п, t) - Gmn (t) в фоковском представлении:
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed