Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
о
При значениях энергий таких, что RеЕ 0, функция Грина получается с
помощью аналитического продолжения выражения
(2.8). Выражение (2.8) есть не что иное, как преобразование Лапласа
функции Грина (7(2, 1; (5).
Рассмотрим теперь функции Грина стационарного уравнения Шредингера
некоторых квантовых систем, описываемых квадратичными гамильтонианами,
следуя работам [104-107, 111]. Как видно из формулы (2.3), если известна
функция Грина (7(2, 1; Е), то ее полюсы в комплексной плоскости
переменной Е дают значе-. ний энергий, принадлежащих дискретному спектру
гамильтониана системы Чтобы вычислить функцию Грина стационарного
уравнения Шредингера для одномерного гармонического осциллятора, удобно
работать в представлении когерентных состояний, поскольку в этом
представлении волновая функция 'Ге.п(ос) имеет очень простой вид (см.
(5.46) гл. III):
^еп (а) = <п | а) = е- l"l2-/2 у=-; Еп = Йсо (га + Чг)- (2.9)
Подставляя это выражение в формулу (2.3), мы сразу получаем
е- |oti|*/a- |ос*|*/а (ща.?)"
с(а,*,",;?)- ш "u-i/L+v,] • <2-w>
n= О
Ряд (2.10) определяет вырожденную гипергеометрическую функцию Ф или
неполную гамма-функцию у (см. [88]). Окончательное выражение может быть
записано в виде
*
(7 (a*, аг, Е) = (Йш)'1 еЧа>12/2-|а,|*/2 (i/2 _ /.у/ад)'1 X
X Ф (1; 3/2 - Е/М',- с^а*). (2-И)
Это же выражение можно получить с помощью формулы (2.7), поскольку
временная функция Грина гармонического осциллятора в представлении
когерентных состояний (матричный элемент оператора эволюции U между
когерентными состояниями ах и а2) имеет вид (см. (5.43) гл. III)
(7(а?, аг; t) = .<а2 | Щ) | "i> =
= ехр{-itI2 - |ai|2/2 - | а2 |2/2 + а1а^е~и}. (2.12)
Мы для простоты взяли случай со = 1, Ti = 1. Поэтому в безразмерных
пере.мевных имеем интеграл ,
оо
G(aJ,aГ,?) = ie-m-Ы*!* jj ехр |а,а*е-*' + i (е - -i-j tJ dt, (2.13) Щ
ЙЁляющийся табличным (см. (881) и приводящийся кЬиду (2.11). Однако,
пользуясь формулой (2.13), нам легко вычислить функцию Грина
стацйона!рного уравнения Шредингера для заряженной частицы, движущейся в
постоянном и однородном магнитном поле. Поскольку в базисе когерентных
состояний временная функция Грина имеет вид (в безразмерных переменных)
G(a?, pj; аг, t) = ехр[-V2(if + | ai 1а'+ I а212 + | рх |2 -Ь
+ I р2 Г) -Kpipf + ajotfe-1'], (2.14)
то вычисление стационарной функции Грина, по существу, сводится к взятию
того же интеграла типа (2.13). Поэтому ответ выписывается сразу и имеет
вид (мы выпишем ответ в обычных переменных)
G = - ?У/ио)-1ехр[ - У2(| а± |2 -j- | а2 |2 + | |3j |2 +
4 | Рг|2) + ocjaf + PiP* 1Ф(1; 3/г - ЕЩы\ -a&f). (2.15)
Это выражение было получено в [130, 107].
Можно было бы получить выражение (2.15) тем же способом, которым была
получена функция Грина (2.11) для гармонического осциллятора. Однако этот
способ потребовал бы перегруппировки членов в двойном ряде и некоторых
выкладок. Можно перейти в координатное представление с помощью общей
формулы
G (ж2, Xi, Е) = ^ G (а*, "Г, Е)(х21 а2> <а11 хг) d2a2 d2"i. (2.16)
Для заряда е в магнитном поле Н интеграл берется, поскольку произведение
<ж2 | а2> <0^ | хгУ есть квадратичная экспонента, и ответ имеет вид [130]
G {г2, гг; Е) - ^ Г JL) р-i/ (г2, Г1) Ш?//1со,о(Рг); (2.17)
здесь
Р2 г = (х,у);
f(r2,r1)=exp^^-(x1y2 - xiy1)j, .
а W есть функция Уитеккера (см. [88]). Полюсы функции Грина и в
координатном представлении, и в представлении когерентных состояний
находятся в точках спектра Еп = Uxa{n 4 1/2); п - 0, 1, . . ., оо. Этот
же ответ (2.17) можно получить, используя известную функцию Грина G (r2,
г^, р) [90] в координатном представлении:
G (Г2, Гг\ Р) = [sh (4" Гга)р) ] 1 / (**2, Гг) X
X ехр ? р2 cth (4~ ^'?°Э) J , (2.18)
где f (r2, r^) дается формулой (2.17). Вычисляя интеграл (2.8) с функцией
(2.18) (см. [88]), мы опять получаем ответ (2.17). Таким
способом формула (2.17) была получена впервые в работе [130]. Можно также
выписать удобную для больших значений величины р формулу для функции
G(r2, /V> Е) ИЗО], используя связь между функцией Уитеккера и функцией
2F0 (см. [88]), а именно:
G (r2, n; Е) = г (-*--------?j-) / (Га, г0 Р2 (2 - 1) е-М X
х{1+?^г[(4-^)(т - i р2)'"}-
п=1
(2,19)
Обсудим теперь общий случай квадратичного стационарного гамильтониана,
сводящегося с помощью канонического симплекти-ческого линейного
преобразования к виду
N
= S (w.jfl^flj) + Ф'> 0 (h - 1). (2.20)
i=i ;
Здесь а7- - бозонные операторы уничтожения, [а^, а|] - ^Непостоянное
слагаемое Ф можно убрать каноническим преобразованием, поэтому мы считаем
для простоты Ф = 0. Спектр энергий неизотропного гармонического
осциллятора (2.20) имеет вид
Ещ = ODiWi 4" С02П2 "Ь • • • "Ь ^NnN- (2.21)
Удобно работать в представлении когерентных состояний, поскольку
временная функция Грина в этом представлении не имеет при t = 0
особенностей. Используем для расчета функции Грина стационарного
уравнения Шредингера формулу (2.3). Собственные функции гамильтониана Ж
(2.20) в представлении когерентных состояний имеют вид
