Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
ряде простых примеров в [147] было продемонстрировано, что "время
стационарности" 1\ совпадает с вводимыми эвристически неопределенностями
At. В частности, время Ts совпадает с временем жизни в приближении
Вигнера - Вайскопфа [148].
Следуя [131], рассмотрим для нестационарной системы функцию времени T(t),
которая в случае стационарной системы не зависит от времени и совпадает с
временем Ts:
1/Щ) = Sppp2 -(Sppp)2. (3.4)
Оказывается, что соотношение неопределенности в виде (3.3) остается
справедливым и для нестационарных систем, если вместо Ts в него
подставить функцию T(t) *). Доказательство соотношения (3.4) в
стационарном случае проведено в работе [147] при специальном выборе
базиса. Ниже приведен вывод (3.3), справедливый и в нестационарном
случае, в форме, явно не зависящей от выбора базиса.
Хорошо известно, что для двух эрмитовых операторов А и В и их коммутатора
[Д, В\ = iC справедливо соотношение неопределенности в форме
<(ДД)2><(ДД)2> > V* I <С> I 2, (3.5)
где <(ДД)2> = Sp р(А - Л)2; <(ДД)2> = Sp р(В - Д)2; <С> =
= SppC. Положим теперь, что А ~Ж, В = Йр; тогда в силу (3.1) С = [$?,
[р,Ж\\, а соотношение (3.5) с учетом (3.4) принимает вид
(АЕ)ЧУТ2 > Vt(Sp[5?, [р, ^]]р)2. (3.6)
Используя уравнение Лиувилля и тождество Sp[H, В]С = = Sp [С,
А]В,^находим, что
Й2/Г = Sp Р2Р = VaSjp р2[Ж,[Ж, р]]. (3.7)
*) Здесь и в дальнейшем рассматриваются только такие матрицы плот-
ности, для которых шпуры, входящие в определение Т (г), существуют.
123
Так как р2 р, то из (3.6) и (3.7) следует
(A?)2Й2/Г2 > Vt(Sp[#,Ip, ^Пр)2 > (Й2/Г2)2, (3.8)
что эквивалентно (3.3) при условии Г <С оо. Соотношение (3.3) (или (3.8))
обращается в равенство при условии р2 = р, т. е. для чистых состояний,
что отмечалось в [147], и при условии Т С оо.
Наряду с временем T(t), можно рассмотреть и другой параметр: т (t),
который тоже может играть роль времени в соотношении неопределенности.
Определим новое время т(?) (в случае стационарных и нестационарных
систем) соотношением
т-2 = Spp2; (3.9)
тогда справедливо соотношение неопределенности энергия - время
в форме
т А Е > 1/%Н. (3.10)
Действительно, представим (3.6) в виде
(A?)2Sp р2р > V4(Sp p2)2/i2. (3.11)
Очевидно, что
Sp р2 > Sp р2р. (3.12)
Из (3.11) и (3.12) следует неравенство
(A?)2Sp(p2)> V4(Spp2)2^, (3.13)
которое при т ¦< оо эквивалентно (3.10).
Неравенство (3.12) г оказывает, что
Г> т. (3.14)
Для чистых состояний р2 = р времена Г их равны и соотношение
(3.3) превращается в равенство.
При выводе соотношения неопределенности энергия - время в форме (3.3) и
(3.10) было использовано условие, что Гит ограничены.
Теперь сформулируем для стационарных систем условия, когда Гит обращаются
в бесконечность. Заметим, что в стационарном случае эволюция матрицы
плотности описывается уравнением
р, = е-^/ЛрдДяя/л (3.15)
и времена стационарности Ts и т5 определяются только по начальной матрице
плотности:
НУТ2, = Sp [Ж, р0] [ро, Ж\ ро, НУт2, = Sp [Ж, р0] [р", Ж].
(3.16)
Время стационарности ts равно бесконечности, т. е. Sp р2 = 0, тогда и
только тогда, когда матрица плотности начального состояния ро описывает
либо стационарные состояния, либо их^смесь,
124
т. е. имеет вид
Ро = We I фя> <Фе |, (3-17)
где | - стационарные состояния гамильтониана Ж- Ж| фдУ =
= Е\ц>еУ- Из (3.14) ясно, что условие (3.17) является достаточным для
обращения Ts в бесконечность. Обращение Г, и т, в бесконечность связано с
наличием у системы интегралов движения. Действительно, в стационарном
случае сам оператор Ж является интегралом движения. Совершенно очевидно,
что времена стационарности Т, и xs равны бесконечности в случае, когда в
качестве матрицы плотности р0 выбрана матрица, отвечающая равновесному
распределению Гиббса:
Ро = ZoV^r, Z0 = Sp e-*/*T, (3.18)
хотя <{АЖ)*У > 0.
Пусть система описывается гамильтонианом Ж и обладает полной системой
интегралов движения Lt, i = 1, . . ., N, не зависящих явно от времени:
[Lt, Ж] = 0. (3.19)
Рассмотрим стационарные состояния, отвечающие этому полному набору
интегралов движения:
Т'г | hi ЕпУ h | hi ЕпУ,
Ж I/"?">= Еп I г" Епу.
Вообще говоря, энергия системы зависит от квантовых чисел Z,-: Еп =
En(h)> например, энергия ЕпЛ зависит от орбитального момента
в центральном поле (хотя при наличии высшей симмет-
рии возможно "случайное вырождение", как, например, в задаче о трехмерном
изотропном осцилляторе или атоме водорода, когда энергия не зависит от
орбитального момента).
Рассмотрим матрицу плотности вида (3.17):
Ро= 2 W(h)\hiEn-><hiEn\. (3.21)
Еп1 и
Так как Еп, вообще говоря, зависит от квантовых чисел, то <(ДЖУУ > 0, а
Г, и xs, как видно из (3.19) и уравнения Лиувилля, обращаются в
бесконечность.
В качестве простейшего примера рассмотрим движение спина, равного 1/2, в
постоянном однородном магнитном полеЛ. Матрица плотности этой системы,
как известно, имеет вид р = V2 (Е + сгг-5г-), где сг,- - матрица Паули, а
гамильтониан Ж = -рв? {На).
Выберем ось z вдоль магнитного поля, тогда уравнение Лиувилля (3.1)
