Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
= Й/2. Можно сказать, что состояние | 0) было размазано в окрестности
начала координат фазовой плоскости и занимало площадь Й. Эволюция во
времени 1F< является тоже когерентным состоянием, находящимся в точке at
= a (t) = = ?06 (f)/}/"2 с Др = J^r,TOco/2, Д.г--^Й/2пгсо и АрАх = Й/2 и
занимающим ту же площадь в фазовом пространстве. Наглядно ясно, что
пакеты будут сильно перекрыты, если эти окрестности пересекаются.
Естественно считать, что состояния разрешены, если эти окрестности не
пересекаются. При | б х0 \ 1 и t _> т окре-
стности заведомо не пересекаются и осциллятор находится в квази-
классическом состоянии со средней энергией Et АЕ (см. (3.36)). Очевидно,
что
18Е | = 1/2Йт-2бб* > АЕ = Йш V1&/2, (3.39)
т. е. конечное состояние осциллятора может быть по измерению
энергии разрешено от начального основного состояния.
128
§ 4. Линейные адиабатические инварианты
и когерентные состояния
В предыдущих параграфах был рассмотрен вопрос о построении генераторов
группы динамической симметрии квантовой системы из интегралов движения,
чьи собственные значения определяют начальные координаты и импульсы в
фазовом пространстве средних координат и импульсов. В настоящем параграфе
будет рассмотрен другой аспект таких интегралов движения, с помощью
которых строятся когерентные состояния. А именно будет обсуждена связь
этих точных интегралов движения с адиабатическими инвариантами. Хорошо
известными примерами адиабатических инвариантов являются магнитный момент
заряженной частицы, движущейся в медленно меняющемся (по сравнению с
радиусом классической орбиты) по пространству и (по сравнению с периодом
обращения по этой орбите) по времени магнитном поле [150], а также
отношение энергии осциллятора к частоте в случае зависимости частоты от
времени. Адиабатическим инвариантам посвящено большое количество работ
[151-154]. В точной формулировке адиабатической инвариантности вводится
параметр Т (масштаб времени) такой, что при Т -"- оо (т. е. ЦТ -"- 0)
внешние параметры, зависящие от времени (массы, электрические и магнитные
поля и т. д.), имеют бесконечно уменьшающуюся скорость изменения. Если
имеется положительная константа М такая, что для изменения АI числа I для
всех достаточно больших I выполняется неравенство | А/ | <" М/Тп (п -
положительное целое число), то говорят, что I является адиабатическим
инвариантом порядка п. Постоянство магнитного момента с точностью до
первого порядка по параметру малости было впервые получено Альфвеном (см.
[150]). Позднее Крускал [154] доказал это свойство с точностью до всех
порядков в некоторых частных случаях полей.
Курлсрудом [151] была доказана адиабатическая инвариантность для
одномерного классического осциллятора с переменной частотой с помощью
использования линейности классического уравнения движения. Лепард [152]
расширил этот результат на нелинейный осциллятор. Адиабатическая
инвариантность в квантовой механике была доказана в первом поряд1е по
параметру малости Борном и Фоком [155] для квантовых систем с
невырожденным спектром энергий. Справедливость теоремы Борна - Фока с
точностью до всех порядков была доказана в [153] для систем с^ конечным
числом невырожденных уровней энергии, не пересекающихся в процессе
адиабатического изменения параметров. В работе [91] рассматривался в
адиабатическом приближении квантовый осциллятор с переменной частотой,
была показана экспоненциальная малость амплитуд переходов между уровнями
энергии. В настоящем параграфе будет продемонстрирована справедливость
теоремы Борна - Фока для квантовых систем с
5 И. А. Малкин, В. И. Манько
129
бесконечным числом вырожденных уровней энергии и с бесконечным числом
бесконечнократно вырожденных уровней энергии. Рассмотрение квантовых
систем и наличия адиабатических инвариантов для них будет проведено на
основе исследования точных инвариантов. Кратко идея этого рассмотрения
такова. Как говорилось выше, каждая квантовая система с п степенями
свободы имеет 2п точных инвариантов, собственные значения которых дают
начальные точки в фазовом пространстве средних координат и импульсов
системы, а собственные векторы являются когерентными состояниями. Такие
точные инварианты могут быть разложены в ряды по параметру малости,
характеризующему скорость изменения зависящих от времени параметров
системы. Это разложение определит адиабатические инварианты, которые
сохраняются лишь с определенной степенью точности относительно параметра
адиабатичности. Функция Грина и амплитуды переходов между различными
состояниями как когерентными, так и энергетическими могут быть разложены
по параметру адиабатичности, давая соответствующие ответы в
адиабатическом приближении. Из описанного подхода ясно, что число
адиабатических инвариантов соответствует числу точных инвариантов,
равному 2п для системы с п степенями свободы. Функция от адиабатических
инвариантов сама является адиабатическим инвариантом.
Рассмотренные в предыдущих главах важные квантовые системы (осциллятор с
