Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
[ср. Приложение, равенство (П.6)],
бр = ехр H0t] Ар ехр (у H0t J. (1.65)
Если и впредь пренебрегать квадратичными членами в возмущении, то в таком
случае следует, что
гЙАр = ехр [6/7, р0] ехр ( jf ~
= lim ^ехр (- Ш + at) ехр HQt j [ег, р0] ехр -¦ HQt j'E^.
(1.66)
Величины Ар и бр принимают одинаковые значения при t - 0. Кроме того, при
t = - °° обе они равны нулю. Получаем, следовательно, из (1.68),
интегрируя
бр (t = 0) =¦ lim (у
а-"о \
X ехр~|-^- /70<) [ег^ р0] ехр (-770/) -е). (1.67)
J dt ехр (- гсо? + at) х - 00
§ 10. ФОРМУЛЫ КУБО И КУБО - ГРИНВУДА
57
Подстановка (1.67) в выражения для ожидаемого значения плотности тока j
дает
в
<j> = Sp{j6p} = 4- lim ] dtexp (- mt + at) X
1"¦ ct^a J
X Sp exp (^Y H0t j [er • E, p0] exp ^ -tf0*J j- (1.68)
Лз (1.68) следует, что компоненты тензора проводимости определяются
формулой Кубо:
в
о^д, = lim J dt exp (- Ш + at) К^у, (1.69)
<*-"о _оо
где
^av = Jr Sp {/(д, exp (-jr HQt^ [erv, p0] exp (--¦ ТТдЦ. (1.70)
Равенство (1.70) часто приводится в другой форме. Для этого оно
преобразуется с использованием (1.62):
lrVt Pol = Ро (Ро rvPo rv) =
= р0 (exp (H0lkBT) Гу exр (- Hb/kBT) - rv) =
1 /kBT
= Pe j ' dh ^ (exp (XH0) rv exp (- %H0)) =
о
Po
j dlexp (kH0)[H0, Гу]ехр (-XH0). (1.71)
Коммутатор [Нщ, rv] можно, согласно квантовомеханическим уравнениям
движения, заменить на -ihrv. Принимая во внимание, что -erv = Л, получаем
1/йцТ
[erv, р9] = гй.р0 j dx exp (kH0) jv exp (- A,#0) (1.72)
и, следовательно,
l/feflT
Kliy= J exp (г - г^))ьехр|- YHa(t- *^))}-
(1-73)
58
ГЛ. 1. ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ
Последний шаг состоит в замене операторов тока зависящими от времени
операторами в представлении Гейзенберга (см. Приложение) :
j (t) = ехр
,(т)яФехР ИтМ
Записывая Sp {р0/} = </>, получаем
ШвТ
Apv = J О'и (0) 7v (t (1./4)
Вьфажение (1.69) совместно, с (1.74) есть общепринятая форма формулы
Кубо. *
Формула Кубо очень важна как исходный пункт для вычисления
электропроводности. Ввиду сложности мы, однако, не будем использовать ее
в дальнейшем. Гринвуд вывел упрощенное выражение, которое представляет
интерес для определения локализации и делокализации одноэлектронпых
состояний.
Для вывода его исходим из одноэлектронного оператора Гамильтона Н = #о +
Н'. Пусть На описывает свободный электрон, а Н'- возмущение,
обусловленное постоянным электрическим полем. Пусть, далее, Е ж - энергия
и волновая функция электрона. Так же, как в выводе формулы Кубо,
используем для вычисления проводимости статистический оператор р.
Образовывая Sp из (1.62), получаем, что
Ф = Sp (pjop), (1.75)
где оператор тока дается выражением
Используя соотношение Е = -А и предполагая, что зависимость от времени
векторного потенциала и напряженности электрического поля имеет вид ехр(-
йог + at) (в пределе а->0), получаем
Н' = - А-р = - A-V = - - E-V. (1.77)
m im - m(0
Для описывающей возмущение составляющей статистического оператора р = р0
+ бр находим, подобно (ч. 1.13.7),
I бр I %г> = ' <^' IН' I • (d-78)
Е' - Е - % о) - На Равенство (1.75) может, быть записано явно в виде < j>
= У% J J dE dE' g (Е) g(E') <ф?у | бр | фй>а7 Сфв | jop | фв')ат. (1.79)
Здесь g(E)-плотность состояний для электронных состояний Е.
§ 10. ФОРМУЛЫ КУБО И КУБО - ГРИНВУДА
59
Индекс "av" (не выписанный в явном виде в последующих равенствах)
означает, что матричный элемент должен быть усреднен по всем состояниям в
интервалах dE и dE'. Подставляя (1.76) -ь (1.78) в (1.75), получаем для
^-компонента тензора проводимости
¦ 2 2т
0У (со) = Re (lim Г f dE dE' g (E) g (E') x
Igc-*o o) J J
X
^E'
\ um-um
/ E' - E - S,co - l\a
Используя преобразование
Re (lim 4-
1
la->o
г Ef - E - Ew - ift.cc
= лб (E' - E - hrj>),
(1.80)
(1.81)
получим
Oij (oj) =
eh2nvg
m2 to
J g (E) g (E + fc(o) /i|3?+fiW
\
dx-
X
dx-
Ч>в+л"Л [/" (Я + ftffl)- fo(E)]dE. (1.82)
Проводимость при постоянном поле находим, переходя к пределу (о 0.
Разность распределений Ферми при Е и Е', деленная на Лео, сводится к
dfJdE. Для упрощения будем предполагать в дальнейшем, что проводимость
изотропна (ач = абу). Произведение двух матричных элементов можно
заменить квадратом абсолютной величины одного матричного элемента со
знаком минус. Таким путем получается обычный вид формулы Кубо - Гринвуда
o = -JoB(0 )%$dE,
где
e2%2nVa
[g (Е)Г
•$Е
(1.83)
(1.84)
Формула Кубо - Гринвуда может быть ясно интерпретирована. Известно, что
только электроны из области в пределах нескольких квТ около энергии Ферми
вносят вклад в проводимость. Это как раз та область, которая определяется
положительным сомножителем -df0/dE в подынтегральном выражении. При Т - 0
множитель -dfJdE является 6-функцией при Е = ?V. Остающийся сомножитель
оЕ(0) есть вклад в проводимость электронов, находящихся в состояних в
области (Е, dE).
Равенство (1.83) имеет вид,' который особенно полезен при рассмотрении
вклада в проводимость состояний в окрестности энергии Ферми. Когда
состояния, вовлеченные в проводимость, находятся в
