Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
точное.
Протяженность волнового пакета в k-прострапстве можно получить, вычислив
коэффициенты с (к) разложения в (2.7) для известной функции F(t). 'Для
коэффициентов находим:
+ <2-14>
V g о
Волновой пакет ограничен в k-пространстве областью с радиусом порядка
1/а0. В Si и Ge это составляет лишь несколько процентов среднего радиуса
зоны Бриллюэна.
Результаты (2.12) и (2.14) наводят па мысль, что на 7?(^-диаграмме зонной
модели следовало бы представить донорные уровни как дискретные состояния
под минимумом зоны проводимости. Ширина уровня [определяемая на основании
(2.14)] также может быть показана на диаграмме, как мера
концентрированности волнового пакета (2.7) в k-пространстве. Это показано
на рис. 18 для рассмат- . ривавшегося до сих пор случая атома - донора в
полупроводнике с изотропным параболическим минимумом зоны проводимости.
Мы использовали Si и Ge в ^качестве примеров определения порядка
величины, которого следует ожидать для энергий связи и боровских
радиусов, хотя эти полупроводники и демонстрируют заметные отклонения от
изотропной модели. Необходимые поправки можно легко найти, если заметить,
что эти поправки касаются пред-
§• 14. ОПИСАНИЕ В ЦАМКАХ ЗОННОЙ МОДЕЛИ
73
положений, сделанных в контексте приближения эффективной массы. В Si и Ge
вместо изотропного параболического минимума находим ряд эквивалентных
минимумов, центрированных вокруг к-век-торов звезды в зоне Бриллюэна'.
Энергетические поверхности вблизи
\ Е
" п=3
п=г
6
Расстояний
О
Волновое число
Рис. 18. Примесные уровни в зонной модели: а - па диаграмме энергия -
пространственная координата локализованные примесные уровни лежат под
делокализованными состояниями зоны проводимости; б - на Е - к-диаграмме
локализованные примесные уровни лежат под минимумом зоны проводимости
(предполагаемым здесь изотропным и параболическим). Ширина примесных
уровней дает меру протяженности состояния в, k-пространстве, согласно
(2.14).
этих минимумов являются эллипсоидами вращения, которые определяются двумя
эффективными массами:
Е = ЕС + ^
к!
+
*5-
¦К
(2.15)
Здесь mi - продольная, а то< - поперечная массы (обратная кривизна
параллельно и перпендикулярно большой оси этих эллипсоидов). ki, kh kh -
компоненты к в подходящим образом ориентированной системе декартовых
координат с центром на соответственном к-век-торе данного минимума кс. Мы
трактуем эту аналогию, составляя уравнение эффективной Лесы (2.11) для
каждого экстремума и записывая оператор кинетической энергии в виде
2т
I дхн
2т.
дхн
+
дх1
(2.16)
Вследствие эллиптической формы энергетических поверхностей появляется
выделенное направление. Собственные значения уравнения Шредингера (2.11),
Которые были вырожденными в изотропном случае, тогда расщепляются.
Расщепившиеся уровни классифицируются дополнительным квантовым числом т,
которое соответствует магнитному квантовому числу в случае свободного
атома. •Появляются, следовательно, отклонения от кулоновского спектра.
74
ГЛ. 2. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
На рис. 19 сопоставляются результаты улучшенной в таком направлении
теории с донорными спектрами в Si. Можно видеть почти количественное
согласие между теоретическими предсказаниями и экспериментом для
возбужденных состояний. Для основного состояния согласие не такое
хорошее. Здесь приближение (2.3) для потен-
Рис. 19. Донорпые уровни в кремнии. Экспериментальные значения для-
примесей Р, As и Sb. Энергии возбужденных состояний (2 = 1, т, = -1, О,
+1) хорошо согласуются друг с другом и с теоретическими предсказаниями.
Использованное в этом параграфе приближение оказывается несостоятельным
для основного состояния. (По Кону [101.5].)
циала U (г) неадекватно. Очевидно, что расхождение возникает вследствие
нарушения справедливости этого приближения, поскольку энергии
возбужденных состояний практически не зависят от природы донора, тогда
как энергия основного состояния различна для Р, As и Sb.
До сих пор мы ограничивали свое внимание мелкими донорами.
Соответствующее уравнение эффективной массы (2.11) может быть
сформулировано для мелких акцепторов (замена электронов в зоне
проводимости дырками в валентной зоне). Тогда F(г)-огибающая функция
волНЬвого пакета, построенного из состояний валентной зоны. Кулоновский
спектр (2.12) состой! из серии энергетических уровней, которые лежат над
валентной зоной.
Здесь также следует внести поправки в простую теорию, когда - как во всех
кубических полупроводниках - несколько валентных зон вырождены на их
верхнем крае. Это приводит к новой проблеме. Во многих полупроводниках
неэквивалентные экстремумы зоны расположены близко по энергии. В
кубических полупроводниках, например, под максимумом валентной зоны
расположен максимум дополнительной подзоны также при к = 0. В GaAs только
на малом энергетическом интервале под самым нижним минимумом зоны
проводимости при к -0 присутствует ряд эквивалентных минимумов,
.расположенных вдоль оси Д. Около этих экстремумов могут также .иметь
