Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
1
2го*г2
[8 (оо) 8 (0)
(1.87)
Неизвестный пока радиус гр определяется посредством минимизации (1.87).
Окончательно
и
Гп1 =
2Г
1
1
8 (оо) 8 (0)
4г.
.8 (ОО)
8 (0)] ~
1
а2й.ют
(1.88)
(1.89)
Таким образом, энергия связи пропорциональна а2.
Более важным, чем эта оценка, является вопрос о поляронных состояниях.
Исходной точкой здесь не являются ни приближение эффективной массы, ни
приближение сплошной среды. Наиболее пригодный подход состоит в
преобразовании электрон-фононного взаимодействия с помощью канонического
преобразования, как это делалось в общем виде в ч. II, § 81. Мы
рассматриваем эту проблему в более широком контексте в следующем
параграфе.
Литература к этому параграфу: Аппель [101.21], Мотт и Дэвис [94] и
некоторые статьи в [118].
§ 12. Прыжковая проводимость в полярных твердых телах
В последнем параграфе мы видели, что для сильной электрон-фононной связи
поляризация может приводить к локализации электрона в им самим
индуцированной потенциальной яме (малый по-лярон). Движение малого
полярона происходит (за исключением очень низких температур) путем
процессов перескока от одного атома решетки к другому. При этом
несущественно, является решетка упорядоченной или нет. В этом параграфе
мы рассмотрим такие процессы перескока.
Прежде чем обратиться к количественному описанию, рассмотрим проблему
качественно. Опишем искажение решетки в окрестности атома решетки с
помощью конфигурационной координаты q (рис. 16) (см. также § 21
относительно концепции конфигурационной координаты). Энергия деформации
зависит квадратично от д, т. е. Ейе, = Aqz.
Положим, что энергия электрона в его потенциальной яме пропорциональна q,
т. е. Ееi = -Bq. Таким образом, полная энергия полярона Е = Aqz - Bq. При
q" = В/2А она имеет минимум, так что мощно также написать Е = - Aql + A
(q - q0f, где Aql есть энергия связи малого полярона (1.89). Рассмотрим
теперь
.§ 12. ПРЫЖКОВАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
63
Ива атома решетки, которые опишем (вместе с их окружением)
конфигурационными координатами и q2. Пусть малый полярон локализован
возле одного из атомов. Переход электрона от атома 4 к атому 2 и,
следовательно, образование малого поляррна у атома 2 происходит тогда,
когда энергии электрона одинаковы в обоих местах: = Bq2. Энергия,
необходимая для образования состояния
= q2, есть A (qL - q0)2 + Aql = A{q1 - q0)2 + Aq\. Она имеет минимум при
<7i = qJ2. Чтобы стала возможной смена места, колебания решетки должны
передать по крайней мере энергию WB = Aql]2 (т. е. • половину энер-
Рис. 16. Описание процессов перескока в полярных твердых телах
посредством модели конфигурационной координаты
гии связи полярона).
Вероятность прыжкового перехода w имеет, следовательно, температурную
зависимость, пропорциональную ехр (-Wn/къТ). Вероятность w равна
произведению этого экспоненциального фактора и характеристической
частоты, по порядку величины близкой к фо-нонпой частоте. Эта вероятность
перехода может быть использована для оценки постоянной диффузии, а из нее
- прыжковой подвижности. Отсюда следуют максимальные значения прыжковой
подвижности малого полярона порядка 0,1 см2 В-1с-1.
Мы вернемся к подобному рассмотрению в разделе Б гл. 3, когда будем
говорить о механизмах перескока в неупорядоченных решетках. Здесь мы*
хотим уточнить эту грубую оценку с помощью количественного рассмотрения
локализованных электронов в полярных и неполярных решетках, учитывая
электрон-фононное взаимодействие. Мы близки здесь к работе Шнакенберга
*), к которой и отсылаем за подробностями.
Гамильтониан состоит из электронного члена, фононного члена и
электрон^фононного взаимодействия. Запишем электронный член в виде
(1.90)
#е1 - 2 ЕпСпСп + 2 ГщцСгиСц
где Еп могут быть одинаковыми или считаться распределенными по заданной
области энергий;, с", сп-операторы рождения и уничтожения электрона,
локализованного ib узле решетки ' Rn; Vnm -
*) Schnakenberg Т.- Phys. stat. sol., 1968, v. 28, p. 623.
64
ГЛ. 1. ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ
интегралы, соответствующие переходам между состояниями, локализованными в
узлах R" и Rm. Пренебрегая энергией нулевых колебаний, запишем фононную
часть согласно (ч. 1.31.30):
^ph = 2 2 IfcWqjaqjaqj. (1.91)
з=1 q
Здесь индекс / = 1 объединяет акустические ветви, в то время как / = 2
объедиш&т оптические; aqj и aqj-операторы рождения и уничтожения.фононов
с волновым числом q в /-й ветви.
Наконец, имеем для электрон-фононного взаимодействия.
2 ________
Не 1-ph = - 22 Vuqj (Oqj [exp (iqR") aqi + exp (- ?qRn) aqi\dcn. i=in,q
(1.92)
Это выражение может быть получено из (ч. II.49.4) путем использования в
каждом из матричных элементов в (ч. II.49.4) локализованных. функций.
Помимо фононных частот Щ} также содержат постоянные взаимодействия
электрона с акустическими или оптическими фононами.
Полный гамильтониан Не\ + Hph + ffei-ph содержит два компонента
возмущения. Один - электрон-фононное взаимодействие (1.92), а второй -
член в (1.90), который описывает процессы, включающие смену положения.
