Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
60
ГЛ. 1. ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ
пределах нескольких къТ над энергией Ферми, более полезна альтернативная
форма. При E - Es^>kBT имеем /" " ехр [(?Р -Е)/къТ\ и, следовательно, -
dfJdE " fJkBT. Таким образом,
а = к~Т J °Е dE " Iе|Х № " № ^ ,85^
где
л (?) = g (E)f0(E), р (Е) = (1.86)
Согласпо этому проводимость создается вкладами отдельных состояний,
локализация или делокализация которых дается величиной "подвижности"
р(1?). Мы вернемся к этому в гл. 3.
§ И. Малый полярон
Обратимся теперь к обсуждению сильного электроп-фопонпого взаимодействия.
Некоторые аспекты этой проблемы уже обсуждались в ч. II, § 50. В
использованном там приближении мы смогйи ввести новую квазичастицу -
полярон. Его главными свойствами
по сравнению с блоховским электроном были: а) понижение его
энергии в самоиндуцированной им потенциальной яме на величину ah(oh и б)
изменение его эффективной массы от гп* до пъ** =" = m*/{ 1 -а/6). Здесь
/шь- энергия виртуальных продольных фононов, которые образуют фононное
облако полярона, а - константа связи электрон-фононного взаимодействия.
Результаты ч. II, § 50 были ограничены областью а < 1.
Важным параметром, который в ч. И, § 50 не обсуждался, является размер
полярона. Самоиндуцированное распределение заряда полярона может быть
рассчитано подобно результату (ч. 11.50.17). Получаем распределение,
экспоненциально убывающее с увеличением расстояния, с характерной длиной
r0 -(h/2m*(xiL)1'2, которую можно интерпретировать как ^радиус" полярона.
Для твердых тел, имеющих константу связи а < 1, радиус принимает значения
между 10 и 100 постоянными решетки.
Смысл г0 следует также из простой оценки. Рассмотрим покоящийся полярон.
Неопределенность его энергии вследствие поглощения и испускания
виртуальных фононов АЕ = Поскольку Е = = %к2/2пг*, этому сопутствует,
следовательно, неопределенность волнового числа Ak = (2m*adjJ%yn. Это
ведет к неопределенности положения А г - 1/Д к - г0.
Если константа связи превышает единицу, приближение ч. II, § 50
нарушается. Можно, правда, еще учесть более высокие члены ряда теории
возмущений, но лзшше перестроить гамильтониан с помощью канонического
преобразования. Это было сделано Ли, Jloy и Пайнсом и усовершенствовано
впоследствии другими авторами (см. заддчу 4.2), Наиболее важные иа
найденных результатов за-
§11. МАЛЫЙ . ПОЛЯРОН
61
ключаются в том, что эффективная масса полярона есть т** - = т*( 1 + а/6)
и что радиус полярона убывает как 1/а.
Это приближение теряет силу, когда радиус -полярона уменьшается до
величины порядка постоянной решетки. Основой всех приближений было,
конечно, описание решетки как континуума, которое оправдано, только если
радиус полярона достаточно большой.
Поляроны, которые простираются лишь на , области порядка постоянной
решетки, называют малыми поляронами, в противоположность
рассматривавшимся до сих пор большим поляронам.
Справедливость модели большого полярона ограничена не только порядком
величины константы связи, но также тем фактом, что неопределенность
энергии полярона ДЕ должна быть мала по сравнению с энергией электрона.
Для свободных электронов это - энергия Ферми. В энергетической зоне она
не превышает ширины зоны. Следовательно, когда мы рассматриваем узкие
зоны в твердом теле, может быть необходимой также коррекция модели
полярона с этой точки зрения.
Легко видеть, в каком направлении надо произвести коррекцию. Вследствие
своей большой эффективной массы т** большой полярон менее подвижен, чем
электрон без облака поляризации. С увеличением электрон-фононной связи
растет т** и одновременно - самоиндуцированная потенциальная яма, которую
создает электрон. Предельным случаем будет неподвижный локализованный
электрон. Хотя мы исходим из решетки, обладающей трансляционной тгнва-
риантностью, мы находим здесь возможность существования локализованных
состояний.
Энергию связи малого полярона в его потенциальной яме можно легко
оценить. В случае недеформируемой решетки потенциал электрона есть -
е/е(0)г. С учетом деформации решетки он становится равным - е/е(°°)г.
Разность между двумя этими выражениями есть самоиндуцированная
потенциальная яма. Приписываем полярону конечный радиус гр (который не
имеет отношения к определенному выше радиусу большого полярона).
Предполагаем, что при г S
потенциал
Рис. 15. Потенциальная яма малого полярона
постоянен, а при- г > гр определяется выражением- (е/г)[(1/е (°°) ) -
- (1/е(0))] (рис. 15). . Глубина потенциальной ямы равна тогда -
(е/гр)[(1/е ("=)) - (1/е (0))]. К этой энергии добавляется кинетическая
энергия электрона, ограниченного пределами сферы радиуса гр. Согласно
принципу неопре^еленно-.сти, это %212т*Гр. Наконец, следует'добавить
энергию, требуемую для поляризации окружающей среды. Она равна половине
(положи-
62
ГЛ. 1. ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ
тельной) потенциальной энергии, так что этот вклад дает только численный
коэффициент. Все вместе дает
*2 ,2 Г
"М-'гпз-У;
1
