Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку электрон-фононное взаи-' модействие в полярных твердых телах
может быть сильным, мы исключим Неi-ph с помощью канонического
преобразования и, таким образом, перейдем от системы электронов с
взаимодействием к поляронной системе, в которой пока только часть
взаимодействий по-прежнему должна быть рассмотрена точно. _
Примем в качестве нового гамильтониана Н = exp(-s)ffexp(s),
где
5 = 2^uqj [exp (- iqR") - exp (iqR") aqi] c%cn. (1.93) jnq .
Для него получаем
H =¦ 2 ^*(r)qj^q]^qj "I" "Ь Нрр, (1.94)
п - jq тп
где '
'Цп (tm) Еп UqpUOqj,
24
Втп = exp ^2 {[exp (^- jqRm) - exp (- iqR")J aqj - k.c.)).
(1.95)
§ 12. ПРЫЖКОВАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
65
Цервый член в (1.94) описывает невозмущенную поляронную систему с
перенормированными энергиями г]"; второй описывает фононную систему.
Третий член описывает переходы поляронов от узла решетки Rm к узлу
решетки R". Последний член представляет эффективное поляронное
взаимодействие, которым мы будем пренебрегать.
В дальнейшем нас больше всего будет интересовать третий член, который
перепишем следующим образом:
VmnBmnCmCn = S^mn^rnCп Ч~ ^jVmn{^Bmn Bmn)cmCni (1.96)
тп тп тп
^тп Втп Vтп"
Здесь Втп - ожидаемое значение оператора Втп для невозмущенной системы
(Vmn = 0). Для Втп находим
Втп -¦ ехр
У и .sin2q(R,K 1>>П-) cth n<Jiqi-^ uq3 sm 2 сш 2к Т
jq ' в
. (1.97)
Два члена <в (1.96) описывают поляронные переходы между различными узлами
решетки. Первый член описывает процессы, в которых фононная система
остается неизменной, второй член - процессы, в которых каждый отдельный
шаг связан с поглощением или испусканием фононов. Это означает
возможность зонной проводи~ мости и термически активированных перескоков.
Интеграл Vmn определяет меру зонной проводимости. Здесь можно видеть, что
поля-ронная зона уже электронной и что ее ширина уменьшается с ростом
температуры.
В дальнейшем мы обсудим только прыжковую часть равенства
(1.96). Она может быть вычислена с помощью формулы Кубо
(1.69). Кроме гамильтониана Н для расчета необходим оператор
тока j. Из определения j = ег = (ejih) [г, Я], где г = 2 R-пСпс", следует
П
j = JT~ ^ Vmn (Rm - Rji) CmCn. - (1.98)
mn
Если использовать теперь то же самое каноническое преобразование, что и
для Н, то к (1.98) добавится только фактор Втп. Таким образом j можно
свести к совокупности зонного и прыжкового вкладов, причем прыжковый
вклад содержит фактор (Втп - Втп).
Подстановка (1.98) и соответствующих частей из (1.94) и (1.96) в формулу
Кубо ведет тогда к выражению для прыжковой проводимости. Не будем явно
приводить трудоемкие вычисления или конечный результат; вместо этого
отсылаем читателя, к упомянутой работе Шнакенберга.
Важны следующие результаты. (
66
ГЛ. 1. ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ
Прыжковая проводимость представляется как сумма вкладов, всех отдельных
прыжков. Отсюда вероятности перескоков' в недо-лярных твердых телах
(ограничение индексом ; =>1) и в полярных твердых телах (включая ; = 2)
могут быть получены как частные случаи. Можно явно выделить две
температурные области в полярных твердых телах в зависимости от того,
больше или меньше энергия перескока энергии оптического фонона. Области с
различной температурной зависимостью проводимости находятся отсюда.
Мы продолжим обсуждение прыжковой проводимости в твердых телах в § 32.
Глава 2
ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ
А. ТОЧЕЧНЫЕ ДЕФЕКТЫ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ § 13. Введение
Периодичность решетки может нарушаться в обширных областях, у внешних
поверхностей или у внутренних поверхностей раздела, вдоль линий
дислокаций или около отдельных узлов решетки. Соответственно различают
трехмерные, двумерные, одномерные и нульмерные дефекты кристаллической
решетки. В этой главе мы будем интересоваться нульмерными точечными
дефектами (структуры) кристалла (или дефектами кристаллической решетки) и
их влиянием на свойства твердого тела.
Наиболее важные точечные дефекты структуры кристалла - это химические
примеси, вакантные узлы решетки {вакансии), внедренные (в междоузлия)
атомы. Общей характерной чертой для них является способность связывать и
высвобождать электроны. Таким образом, они создают в решетке
локализованные состояния.
В этой главе мы рассмотрим такие локализованные состояния со следующих
точек зрения.
1) Можно ли продолжать пользоваться концепцией элементарных возбуждений в
нарушенных решетках? Мы увидим, что при достаточно низкой концентрации
дефектов свойства элементарных возбуждений лишь незначительно
модифицируются. Элементарные возбуждения и дефекты структуры кристалла
могут тогда рассматриваться совместно.
2) Какие взаимодействия возникают между элементарными возбуждениями и
дефектами?
3) Как влияют дефекты кристаллической решетки на физические свойства
твердого тела (оптические свойства или явления переноса, например)?
Параграф 14 мы начинаем с исследования влияния точечных дефектов
структуры кристалла на зонную модель. Оказывается, что делокализоваиные
состояния зоны и локализованные состояния, связанные с дефектами, можно
