Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Исследуем прежде всего два примера, в которых корреляция между
электронами, несомненно, играет определяющую роль.
Рассмотрим одновалентный метал#. Каждый атом решетки привносит с собой
один валентный электрон (s-электрон). Валентная зона тогда заполнена
наполовину. Ради простоты пренебрегаем возможностью перекрытия зон.
Заполненные и незаполненные состояния в s-зоне примыкают друг к другу.
Валентные электроны дело-кализованы и свободно перемещаются по кристаллу.
Что касается зонной модели, то это все, что надо знать для объяснения
металлических свойств кристалла.
Увеличим теперь постоянную решетки, одновременно, однако, сохраняя
кристаллическую структуру, т. е. относительное расположение ионов
решетки. Результатом будет уменьшение ширины s-зоны. Если увеличить
постоянную решетки до такой величины, что взаимодействие между атомами
решетки будет практически отсутствовать, зона сведется к дискретным s-
уровням изолированного атома. Предварительно это уже обсуждалось в ч. I,
§ 23 (рис. 29а, ч. I). В предельном случае изолированных атомов, однако,
каждый атом, конечно, нейтрален, т. е. он имеет вблизи себя
локализованным один из валентных электронов. Металлическая проводимость
теперь невозможна, хотя, согласно приближению зонной модели, мы все еще
имеем полузаполиенную зону. Приближение зонной модели, таким образом,
рушится для узких зон. Локализация электронов па атомах решетки означает
корреляцию между электронами. Для узких зон такие корреляции следует
учитывать. *
Подобное явление находим во взаимодействующем электронном газе (модель
желе). С убыванием концентрации электронов (увеличение среднего
расстояния между электронами г") вклад кинетической энергии в (1.42)
(первый член в правой части) убывает по сравнению с вкладом потенциальной
энергии (второй член в правой части). Когда второй член сильно
преобладает, оказывается, что в состоянии наинизшей энергии электроны
организованы в кристаллоподобную совокупность, т. е. электропы
самоорганизуются таким образом, чтобы быть как можно дальше друг от
друга. Это тоже означает локализацию электронов из-за корреляционных
эффектов (кристаллизация Вигнера).
Оба приведенных здесь эксперимента являются умозрительными; они
показывают, какре влияние могут оказывать корреляции на утверждения,
полученные на основании одноэлектронного приближения. С целью
количественной формулировки проблемы на-*
46
ГЛ. 1. ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ
метим теперь в общих чертах приближение, которое, посредством учета
корреляционных эффектов в зонной модели, ведет к локализованному
описанию. Будем основывать наше изложение подхода на первом из
приведенных здесь примеров, и будем поэтому ^рассматривать (узкую) s-
зону, заполненную точно наполовину N электронами N узлов решетки.
Состояния в зоне описываются энергиями Е'(к) и волновыми функциями ф(к,
г). Индекс зойы опускаем. Чтобы учесть приближенным образом корреляцию в
гамильтониане, удаляем из' Е(к) среднее межэлектронное взаимодействие,
содержащееся в описании зонной модели и заменяем его полным эл^ктрон-
электронным взаимодействием.
В качестве первого шага можно, воспользоваться формализмом, развитым в ч.
I § 43 для проблемы экеитона. Согласно (ч. I. 43.3) разность ?'(k)- W(v)
дается в представлении Блоха выражением
EX = W (к) - 2 (2 <kj х | g | к, и> - <к, x\g\x, k"vxa. (1.49)
к
Здесь g = e2/|r -r'l, ТУ (к) - одноэлектронная энергия в приближении
Хартри - Фока в представлении Блоха; суммирование проводится по всем
состояниям зоны, причем число заполнения Vxo гарантирует, что в расчет
принимаются только заполненные состояния. Соответствующий (1.49) оператор
Гамильтона может быть записан в представлении чисел заполнения и имеет
вид
Нх - ^ ЕхС]щС]?0, ка
Добавим к IIi межэлектронное взаимодействие. Полный гамильтониан
принимает вид
н = У. Ехс?оСка + -f- 2 <ku k2 I ? I кь k2> c? a с ко ck v ck'ar.
(1.50)
ka k1,k2 2 2 1 1
k'.k'
12
al>a2
Нашей целью является описание корреляций в узких зонах.
Поскольку при этом мы подходим к локальному описанию, пред-
ставляется целесообразным принять вместо представления Блоха
представление Ваннье (использованное в ч. I, § 43). Воспользуемся
соотношениями (ч. I. 43.3) и (ч. I. 47.2) для определения функций Ваннье
a(Rm, г) и введения операторов рождения и уничтожения (r) представлении
Ваннье. Далее определяем
Тц = jjr 2 W (k) exp [ik (R4 - R;)],
4V' (1-51)
v" = ir 2d vk(r) exP fik (Ri- rj)1- :
ka
§ 8. КОРРЕЛЯЦИИ, МОДЕЛЬ ХАББАРДА
47
Тогда находим для гамильтониана в представлении Ваннье
И = SfT'ife - 2 (2 <г/1 g | kly - <i/ V^)] X
ika I Ц J
X CioCkO "Г ~2 ^Jjjj ^7 | ё I fcly'CioCjo^lo'CkGi (1*^^)
ijhl его'
где теперь при образовании матричных элементов следует использовать
функции Ваннье. Мы интерпретируем эти ма"тричные элементы как описывающие
взаимодействия между электронами, связанными с различными ионами решетки
(расположенными в узлах решетки R;). Взаимодействие между электронами,
