Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
В основополагающих работах Ривлина 1948-54 гг. были найдены строгие
"универсальные", иначе говоря, не требующие специализации ^задания
удельной потенциальной энергии э(/х, /2) решения_некоторых задач механики
несжимаемой сплошной среды.
В гл. 4 § 15 приводилось доказательство Шилда теоремы Эриксена (1955) о
несуществовании универсальных решений уравнений равновесия нелинейной
теории для сжимаемой упругой среды при преобразованиях отсчетной
конфигурации в актуальную, отличных от аффинного. Несколько ранее (1954)
в тщательном и трудном исследовании Эриксена было обнаружено четыре
класса (нелинейных) преобразований, допускающих универсальные строгие
решения для несжимаемого упругого тела (они включают, конечно,
рассмотренные Ривлиным задачи). Еще один класс преобразований был
обнаружен позже Шилдом и Клингбейлом (W. W. KHngbeil, R. Т. Shield,
1966;. По-видимому, этим исчерпаны возможности построения универсальных
решений уравнений равновесия несжимаемого упругого тела.
Речь идет здесь о решениях уравнений равновесия несжимаемого упругого
тела при отсутствии массовых сил
V-T =^Vp + V.r? =
~-vp+2(f-v|L-f->.v^+*v.f-*_v.f-) = o, (1)
сохраняющих вид при любом задании а(/х, /2) и, конечно, удовлетворяющих
условиям существования вектора места R (q1, q2, q3) в актуальной
конфигурации - соблюдено требование обращения в нуль тензора Риччи для
меры деформации Фингера (или Альманзи). Поверхностные силы,
осуществляющие найденное равновесное состояние, определяются по этому
состоянию, когда оно Получено. Нет речи о решении наперед заданной
краевой задачи.
284 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [гл. 7
В более подробной записи уравнения (1) имеют вид
v.t^-vp+2[(||vJ, + 5]5_v;!).f+Av.f-
//32 г> /3 2 ^ \ /Зэ
= 0. (2)
у/ л.^.у/ Vf-1--v-f-1
dl,dl,1^ д,1У1*) г dl, г
С целью исключить из рассмотрения неизвестный скаляр р составляется
уравнение
V X V • Т -- 0. (3)
При этом, конечно, VxVp = 0, а вычисление остальных слагаемых,
представляющих произведения скаляра на вектор, основывается на правиле
V х фа т= (Уф) х а +¦ cpV х а.
Например,
Vx||v/1.F=y^xV/1.F + gVx(V/1.F) =
~ VI, + VI,\ X V/, ¦ F + -2- V х (УД • F).
,dll dl,dl\ V dll
Уравнение (3) представляется теперь выражением ^ VI, х (VI, ¦ F) V/2 х
(V/2 • F -1) +
dli dl,
, db
dl\dl
[VI, X (V/, ¦ F) + VI, X (VI2 • F) - VI, x (YVj • F-1)] +
2
д*э
. ^2[v/2x(v;2-F)-v/2x(v/1-F-i)-v/1x(v/2-F-i)] +
011 и 12
+ ^(Vx(W1.F) + V/1xV.F)-
dl,
-5- (Vx(V/2.F-1)+W2xV-F-1) +
012
4 ^/2 (V X (V/2. F) + V/2 X v. F - V x (V/t • F-1) - V/, X У • F-1) +
тэг У X У • F - 4j-Vx У• F-1 " 0. (4)
o/i 0/2
Для универсальных решений, не зависящих, как говорится выше, от формы
задания удельной потенциальной энергии от инвариантов, это соотношение
будет выполнено лишь при равенстве нулю всех коэффициентов при
производных э; приходим к
§9]
ПЕРЕЧЕНЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
285
системе уравнений
V/1x(V/1-F) = 0, V/2x(V/2-F-1) = 0, (5)
V/2 х V (/, • F) + V/x x (V/2 ¦ F) - V+ X (V/j-F-1) = 0,
V/xX (V/2• F-1) + V/2 X V• F"1 - V/2 X (V/a ¦ F) = 0, W
Vx(V/1-F) + V/1xVF = 0, VxfVij-F-^+V/jXV.F-^O, (7) V x (V/2 • F) + V/2 x
V • F - V x (V + ¦ F-1) - VJi x V- F"1 = 0, (8) V x V- F = 0, Vx V - F_1
= 0. (9)
К ним присоединяется условие несжимаемости
/з (F) = 1
и шесть условий равенства нулю компонент тензора Риччи (111.10.21),
выражающихся через компоненты gsk, gsk искомых тензоров F и F_1 = g.
Существенным условием является также выполнение неравенств,
характеризующих положительность тензора F -его собственных значений
cyst's, связанных равенством
?+2^3 1 *
Сильно переопределенной системе 9x3+1+6 = 34 уравнений удовлетворяет
постоянный в объеме тела тензор F, определяющий, как следовало ожидать,
линейное преобразование отсчетной конфигурации в актуальную. Но
оказывается, что этим не исчерпывается множество всех преобразований -
тензоров F, удовлетворяющих всем перечисленным требованиям.
§ 9. Перечень универсальных решений
Исследование систем уравнений § 8 и вывод из них представлений искомого
тензора F отнесено к § 21 этой главы. Здесь перечисляются результаты
этого исследования.
Используются обозначения а1, а2, а3 и х1, х2, х3 декартовых координат в
отсчетной и актуальной конфигурациях; г, <p, г и R, Ф, Z - в
цилиндрических системах этих конфигураций; г, 0, ^ и /+ 0, А-в
сферических. Правила дифференцирования единичных векторов цилиндрической
(ег, еф, к и е#, еф, к) и сферической (ег, ее, и е0, ел) систем координат
приведены в III, § 7 -формулы (III.7.18) - (III.7.20).
Материальными координатами служат координаты (декартовы, Цилиндрические,
сферические) в отсчетной конфигурации. Семейства Эриксена представляют
задания координат места в актуальной конфигурации, как функций
материальных координат, иначе говоря -преобразования R = R(r),
удовлетворяющие усло-
о
вию несжимаемости detVR= 1.
286
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
1. Изгибание плиты в цилиндрическую панель. Семейством преобразований
