Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
R - V 2Аа}, Ф = Ва2 + Са\ Z~^Da2 + Ed\
R = tR У 2 Л а1 + k (Da2 + Еа3)
(1)
плоской плите (а\ ^ а1 < сопо-
ставляется цилиндрическая панель. Постоянные связаны условием
несжимаемости
Векторные базисы актуального состояния представляются формулами
Выражения градиентов деформации и мер деформации Фингера и Альманзи
приводятся к виду
Компоненты этих тензоров, значит и их инварианты, зависят от одной лишь
координаты R актуальной конфигурации (от координаты а1 отсчетной
конфигурации). Это -общее свойство универсальных решений. Оно
предопределяет простоту уравнений статики, их решение сводится лишь к
разысканию^ функции р, после чего выражения компонент тензора напряжений
составляются по уравнению состояния.
Л (BE -- CD) - 1.
(2)
R3 = ЯефС -{-кЕ;
R^-Je*. R2= Л (1еФ-кс),
(3)
VR = FR^ - -p- ixe^R (Bi2 + Ci3) вф-f- (Di2 -J- ?i3) k,
* R
Vr - e^ix -f еФ (?i2 - Di3) -j- Л к (-Ci2 -f Bi3),
(4)
F = VRT• VR = ^ tReR + ?2 (В2 + С2) еФеФ + (D2 + ?2] kk +
+ R{BD + EC) (ефк + кеФ), (5)
g = F-1 = Vr • VrT = % tRtR + (?3 + D2) еФеФ +
+ Л2 (С2 -\- В2) kk-- (BD + AC) (еФк +кеФ). (6)
§9]
ПЕРЕЧЕНЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
287
ь ' Инварианты /, (F), /3(F)=/х (g) и дивергенции V-F, Vg равны
h (F) = ^ + R2 (В* + С2) + (D2 + Е2),
/2(Р)=5 + ^(^2 + Д2) + Л2(С2 + В2),
(7)
V-F =
.[4! + ?*(S* + C2)]e", V.g=[?g_g(?* + D*)]e*. (8)
Конечно, э(1и /2) - функция только от 7?. Это позволяет записать
уравнение статики в виде
Vp = 2V.TK^2V.(-^-F-
дз
V-F-
дэ
7
дэ
дэ__
'dl.
F-1 =
- 2ей
дЛ
I дэ
\дП
дэ
v -
д/2
Д2
_ + Я(Я2 + С2)
_дэ
dl.
Л2 ДЗ
(?2 + Л2)
+
Л2 d дэ R% d дэ
Т2Ш.Жх~А*Ш~дh
}¦
Складывая его с равенством
Y7 f дэ д/) ,
= 21-|d/i
дэ д/а
д/2 dR
-~ + -R(S2 + C2)'
дэ д/2
A-d! (?* + ?")'
приходим к соотношению v(P + d) = 2ew
2Л2 дэ 2R дэ , A2 d дэ R2 d дэ
дТЖ"^2 7# Ж
Л2 дэ i^2 дэ
Я2 Ж~ ЖЖ
;2v(-
Этим определено с точностью до аддитивной постоянной р
, 0 / Д2 дэ R* дэ \
7-7о + 2(^, Ж~ЖЖ/ '
Выражение тензора напряжений Т записывается по уравнению состояния
288
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
ГГЛ 7
По (5) и (6) приходим к представлениям его компонент
Решение "универсально" - представлено в единой записи через задание
удельной потенциальной энергии.
Остается выяснить, каким распределением поверхностных сил реализуется это
напряженное состояние. На "основных" цилиндрических поверхностях панели R
= R0 = ]/2Aal0, R - Rx = У 2Aa\ допускается лишь равномерное
распределение нормальных сил
и определяется р0. Поверхностные силы, которые должны быть распределены
по остающимся поверхностям панели -в них преобразуются прямоугольные
границы плиты а2=+Ь, а3=±/, зависят лишь от R. Они (эти силы;
определяются самим решением, а задания главного вектора их и главного
момента на каждой из этих поверхностей приводят к системе уравнений для
тех же постоянных А, ...,?.
2. Разгибание цилиндрической панели. Семейством преобразований
определяется разгибание цилиндрической панели г0 ^ г ^ гit -Фо<Ф<Фо> -i ^
z ^ / в плоскую плиту. Условие несжимаемости сохраняет вид (2).
Повторяется с некоторым изменением последовательность вычислений п. 1.
Векторные базисы актуальной конфигурации и градиенты деформации равны
R - ~2 Лг2^ + (?ф 4~ Cz) i2 -f- (Dq> -f- Ez) i3
(11)
Ri = Hri1, R2 = ?i2 +Di3, R;j Ci2-f E\3,
Rl = ^ii, R2 = Л (?i2 - Ci3), R3= Л(-П12 + B\3),
VR = r^R^ = Artr-j-j- (Bi2 -f Z)i3) -f- k (Ci2 -(- E\3),
Vr - R% = j-r ixer + A (?ia - Ci3)re(f + A (-Di2 + Bi3) k,
ПЕРЕЧЕНЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
289
так что
F = 2АхЧ111 + (А Я* 4-С2) i2i2 + (A Z)2 + ?*) i3i3 +
"1" ( 2^1+ •^'с) (*2(r)з + *з*г) >
в ~2ХЖ ^ + (2Ах1?2+ А2°2) l*i* + (2Ах'С* + А2В2) i3i3 +
+ (-2Ах'ЕС - A*BD) (i2i3 + i3i2), Л (F) = 2Ax1 + А (В2 + дз) + C2 + ?2>
7^F) = ro+2 л*х (?г+C2) + Л2 <D2+S2) - (12)
V-F - 2Aij, V-g- 2AX1'*1'
Далее получаем
Vn = i J-f^Ax1- -АЛ d-d +4Ax1 -____________________________- A_
v" 1 dx1 V d/j Лх1 d/2,/ ' P - Po + aax a/i Лд;1 и по уравнению состояния
находим Oi^-Po,
_L 9 j?L ^ 9 A vl__J_
2X1
oi = -p0 + 2?-(-2Ax1 + -?iBt + Ci
+ 2|(жт-ые^-аю*),
a,--ft + 2|E(_2.4x.AL + iA0= + ?.
+2w;(dF-2/lcv-/1'B!). <>3)
= 2~ ( A BD + EC) + 2 A (2AxSEC + A2BD).
На поверхности плиты x1 = const допускается равномерное распределение
давления а, =-р0. Постоянные А, Е опре-
деляются заданием сил и моментов на ее боковых поверхностях. Р-| 3.
Преобразование цилиндрической панели. Панель ограничена соосными
цилиндрическими поверхностями. Преобразование задается соотношениями
B2 = Ar2-fB, Ф = Сср+Вг, Z = Eq-\-Fz, R = BeR + Zk (14)
при условии несжимаемости
A(CF~DE)= 1. (15)
Ю А. И. Лурье
290
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ,
Вычисление дает следующие представления тензоров F, g, их инвариантов и
дивергенций:
F - A2 Al е"ей+ R2 (^ + D2) еФеФ + ( ^ - J- Г-) кк +
+ R(~ + DFj(t фк + кеФ),
^ екек (r2E2 А-Е2) еФеФ-| Л2 (С2 + г2?>2) кк -
гМ
Л2
з (DFr2JrЕС) (еФк 4-кеф),
7t (F) Л2 h (F)
72
Я2
VF =
V-g =
rM2 1 Я2 d г
3 2,2 3 2
p + EL e2 -I- Л2С2 + г2 ЛФ2,
3! Д. 1 L А 2 Л_
