Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
сведена к функциональному уравнению 4 [(сГлА + Ох*) п - (охг - Ох* -
2iXxix*) п\ =
= [Ф (г) -f Ф (г)] д -[гФ' (г) -f'F (2)] п ~ -/. (16;
Здесь Ф (г) = <р' (г), Ч1- (г) = я|/ (г) - "вторые" потенциалы Мусхе-
лишвили, д - внешняя нормаль к контуру области, / - распределенная
статически эквивалентно нулю поверхностная сила. Представив входящие в
(16) величины суммами вида (3) величин, отнесенных к линейной задаче и к
эффекту второго порядка, примем, что решение линейной задачи определено
краевым условием
[Ф0 (г) + Ф0 (г)] п - [гФо (г) + (г)] п = - /. (17)
Эффекты второго порядка теперь разыскиваются по краевому условию
-j(ox*+ox*y п--j- (ох* - ох* -J- 2ixxix*)1 д = 0, (18)
в котором напряжения ох* и т. д. определены формулами (14). Приходим к
функциональному уравнению вида
[Фх (г) +ФХ (г)]п - [гФ( (2) + ^ (г)]д = д/5 + nQ, (19) в котором Р и Q,
согласно (14), определены формулами
Г \5г5г dz дг дг
( d2D0 -=г 52?>0 " п 5D0 сЮ0
5г дг
(20)
- была использована формула (10).
Система "сил" в правой части (19) должна быть статически эквивалентна
нулю. Как уже говорилось в (гл. 6, § 14), достаточным условием обращения
в нуль ее главного вектора служит одно из равенств
dZ + f = 0, -^ + ^ = 0. (21)
дг дг дг дг
Если оно соблюдено, то будет выполнено и требование равенства нулю
главного момента
Р-Р = 0, (22)
так как Р вещественно по (20).
Проверка критерия (21) громоздка. После подстановок, дифференцирований и
упрощений с использованием (5)2 приходим к
§7] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНФИГУРАЦИИ В НЕСЖИМАЕМОМ ТЕЛЕ 281
условию
дЮп , дЮ0
Нг^ = 0,
дгдг дг
которое выполняется по (7)2. Необходимое условие разрешимости краевой
задачи (19) соблюдается.
§ 7. Аффинное преобразование отсчетной конфигурации
в несжимаемом упругом теле
1. Линейное напряженное состояние при одноосном растяжении. Главные
значения меры деформации Фингера и ее инварианты равны
v\ = v2, Il = v2 + 2v~1, /2 = 2v + v~2, /3=1 (1)
и по (2.8) выражениям главных напряжений as придается вид
о,-о,--р + =
Р + 2(ЯТ <2>
Исключение из них давления р приводит к "закону растяжения" 0ц - ох(р) и
представлению главной силы t1=t1(v) формулами
1,- 2 ("-"-¦) о"
Из (2) следует, что при любом задании v можно подчинить
выбор р условиям а2 = (т3=0; это приводит к заключению, что
любому наперед заданному ц соответствует единственное значение напряжения
сц.
В соответствии с ^<^-критерием (4.12.12)
Оу O'2 Оу Од СТу
v\ - vl v\ - v\
>0,
у V
Sgn CTj = sgn (v~ -y=^j = Sgn {Vv - 1),
но Vv-l> О при удлинении, Vv-1<0 при укорочении стержня; иначе говоря,
при растяжении стержня (ох > 0) его Длина увеличивается, при сжатии (оу <
0) уменьшается. Основываясь только на .^"-критерии, нельзя было бы
утверждать, что это "тривиальное" утверждение распространимо на изотроп-
ный сжимаемый материал.
282
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
2. Простой сдвиг. Осуществление этой деформации (гл. 6, § 4) в
сжимаемом материале требует приложения нормальных напряжений по всем
граням деформируемого параллелепипеда, в их числе напряжения /33,
перпендикулярного плоскости сдвига. В несжимаемом материале простой сдвиг
осуществим при отсутствии нагружения этих граней. Действительно, принимая
и в соответствии с (6.4.7) формулы, определяющие нормальные напряжения в
несжимаемом материале, приобретают вид
- не требуется нормального нагружения в плоскостях а3 = const. Из этих же
формул и эмпирических критериев (5.11.3), приемлемых для резин, следует,
что напряжение t22 < 0 (сжатие) на сдвигающихся (по оси ОХ) плоскостях а2
= const; t11 > 0 (растяжение) на*"плоскостях а1 = const.
Аналогично можно убедиться в осуществимости простого сдвига, когда не
нагружены нормальными к ним силами грани а1 = const или а2 = const.
3. Плоское напряженное состояние. Плоскости, нормальные главному
направлению е3 тензора напряжений, не нагружены; тогда
Эти формулы подсказывают возможность определения э(11, /2) в
последовательности экспериментов, проводимых в плоском напряженном
состояниии.
В опытах Ривлина и Сондерса (R. S. Rivlin, D. W. Sounders, 1951) над
пластинками из сортов резины, не обнаруживавших явлений гистерезиса даже
при четырехкратном увеличении линейных размеров (у,, у2^4), [измерению
подвергались напряжения при деформациях, когда один из главных инвари-
p = 2^ + 2(2 + s2)§-.
(4)
получим
tu-=2^-s2, t22=-2~s2, t33 = О
dli dl..
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
283
антов сохранялся постоянным, а другой подвергался изменению в достаточно
широком диапазоне. Программа испытаний предусматривала значения 1г, /2 в
пределах 5 /х ^ 11, 5^С/2^30. Было обнаружено, что напряжения мало
чувствительны к изменению /х и значительно зависят от /2; наблюдения
проводились при деформациях растяжения, сжатия, чистого сдвига, чистого
сдвига с наложенным растяжением. Основываясь на этих опытах, Ривлин и
Сондерс рекомендовали корректировать потенциал Муни (4.1) выражением
(4.6).
§ 8. Универсальные деформации несжимаемого материала
