Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
задания э(11, 12), вряд ли возможно. Остановимся на случае потенциала
Муни (4.1). Тогда, отбросив в (4) постоянный множитель, после
интегрирования придем к уравнению
J__inJ- = -L I- р 2 2 2
Х0 Xq Xi
in4-. /(4-)=/(-тУ (7)
Xl \ Хо ) \ Xl J
Определенная при положительных X функция / (Я) -- A - In X, оставаясь
оложительной, монотонно убывает (от оо до 1) при 0^А,^1,а при 1 ^7 X ^7
оо монотонно возрастает (от 1 до оо). Поэтому каждому значению А0 = р/х2<
1 уравнение (7) сопоставляет единственное значение А,! - р/х?> 1.
Для неогукова материала (4.3) условие (6) приводит к уравнению
(j +4-)(1 +Л)-2(1+р-3)- (8)
Уравнениями (7), (8) совместно с (5) определяются неизвестные (3, л'2, X2
-наружный и внутренний радиусы вывернутого цилиндра.
Остановимся еще на формулах для напряжения <тф при R = R0 и R = R^ aR = 0
на этих поверхностях и по (9.18), (11.4)
(<тФ)*=*. = 4( +
(0Ф)"=я1=}^у-^(С1р* + Ся)
(9)
§ 13]
ЗАДАЧА ЛЯМЕ ДЛЯ ПОЛОГО ШАРА
299
для материала Муни. Как следовало ожидать, напряжения Сф - растягивающие
на наружной и сжимающие на внутренней поверхности.
§ 13. Задача Ляме для полого шара
Преобразование отсчетной конфигурации в актуальную определяется формулой
(9.22). По (9.25)
при г0, г1 - внутренний и наружный радиусы сферы в отсчетной
конфигурации. В задаче Ляме е=], q0, qt--внутреннее и наружное давления.
Здесь
и в актуальной конфигурации -наружный, - внутренний радиусы. При е = -1
определяющему совместно с (1) при е=1 неизвестные х\, х\. Легко
проверить, основываясь на выражениях инвариантов
3
xl~ е = (1 +б)(х? - е), 1 + б^-Ц-, б>0, (1)
го
(2)
д?-яг = г2-г?, R,<R^
- это задача о сфере, вывернутой наизнанку.
1. Задача Ляме. По (9.24)
(3)
Введя переменную интегрирования
t _ Rs 1 dl dR
ё г(r)* з|"(1-б)-/г
(4)
приходим к уравнению
+ 21*/,, 7a = gv*' + 2Е-2/3)
что формулу (5) можно записать также в виде
300
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
2. "Выворачивание наизнанку". Теперь R0 ~ наружный, Rг- внутренний
радиус; qB- 0, qL = 0. Неизвестные х\, xl, связанные соотношением (1) при
е = - 1, определяются уравнением
х3
л0
С ds d\ n ^
dll+1
Процесс выворачивания можно представить осуществимым с помощью
протягивания материала через малое отверстие в стенке, вслед за этим
заделываемое.
§ 14. Изгибание листа в цилиндрическую панель
Приняв в формулах (9.1) С = 0, Л = 0ипо (9.2) Е-=(АВ)~1, имеем
R'z = 2Aa1, Ф = Ва*, Z = ~=,Ea3. (1)
Поверхности панели ^0 = ]/2Ла^ = У 2Аа\ не нагружены и
по (9.10)
HIARо). А (?")) = * (А га Ага.
А (Яо) = Ага А(А0) = /2(Аа). (2)
Выражения инвариантов (9.7) приобретают вид
A = § + R*B*+(AB)-\ /2 = |! + ]^ + Л252 (3)
и соотношения (2) удовлетворяются при
+ (4)
Здесь 2а -центральный угол панели (2а при а2 = Ь). Главный вектор
напряжений аф определяется выражением
IE Я, Я,
j dzj ^RoRdR=2lERaR ~1В Я о я
= 0.
§ 14] ИЗГИБАНИЕ ЛИСТА В ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ПАНЕЛЬ 301
Их главный момент относительно оси панели в соответствии с (2) и (9.10)
можно представить выражением
mz = 2El j [R(a-p0) + R*-^
До
dR
= 2 El
До
¦-2EI
_ L~T
= 2 El
д. д,
Po{R\ - Rl) + R23 - j* RadR
Ro Ro
(Rl - Rl) э (I! (R0), /2(i?"))-j RadR
Заменив здесь Rlt R0 их значениями и учитывая (4), приходим к выражению
момента
axn + h
mz = 2ly al(al + h)
ha(Ii(R0), I2(R0))- J э(1и Ijda1
L
. (5)
Другим его представлением служит равенство
Ri г д. д.
mz = 21Е J R Rgr dR 2IE R2or - J RoRdR
До
До До
-2IE j RaKdR.
До
(6)
Оно позволяет представить выражение продольной силы в виде [см. (9.10)]
1
Q = 2a J RazdR = ~
До
Wmz-
+Ч*[йМ+&(?-тю.
(7)
302
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
и условие обращения ее в нуль представляется уравнением, определяющим Е2.
Получаем
МЛ (До). Л (До))- I э (Л> Л) da
°0
a\ + h
. Y o\(a\-[-h) (ЕЕ3
- дэ . Е дэ , ,
!------------------------------------- с{сЕ (8)
do 1 г \/ 1 / I , . \ д!о к '
1 Еу о0 (а0 -
н при вычислении /,, /2 следует .выразить через переменную а1
I Yal(ao-l-h) { Е______________.
Еа1 ~'еУШ±^) ' (9)
I fa1 , Д KqUqq \-h) , р_2
Выбор постоянной а\ связывается с шириной полосы 2b и центральным углом
панели 2а
a = lB=±[al(al + h)]-^, i + (Ю)
По'приведенным формулам по заданию материала, размеров листа h, 2Ь, 2/ и
требуемого угла панели определяются напряжения в ней, наружный и
внутренний радиусы Rlt R0 и длина 2IE.
§ 15. Универсальные решения при наличии
массовых сил
1. При потенциальных массовых силах уравнение статики имеет]* вид
V'T = Vit, pk--Vu (1)
и его решение представляется суммой частного решения Ел и "общего"
решения Т однородного уравнения. Для несжимаемой среды
дэ дэ ''
Т = Ея + Тя, V • Т -- - Vp + V • Т/:, T---pE + 2(Fa/) в ^
Ф
и поэтому
T,E(^-rt+2(F (3)
Первым шагом построения универсальных решений было исключение р из
уравнения статики - см. (7.8.3). Поэтому определяемое
§ 15] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ МАССОВЫХ СИЛ 30,']
в этих решениях преобразование отсчетной конфигурации в актуальную, иначе
говоря, вектор места R, зависящий от материальных координат н некоторых
