Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 93

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 158 >> Следующая

могут быть лишь сферы, круговые цилиндры, плоскости. Перемещаясь вдоль
нормали п, т. е. полагая dn - dR, имеем
dn - dR-yn - dR, у n Е,
иначе говоря, при таком смещении n = ej - постоянный вектор и
поверхностями Ф = const являются концентрические сферы, коаксильные
круговые цилиндры, параллельные плоскости. Уравнения семейств этих
поверхностей, если через R обозначить вектор места па них, при принятых в
§ 9 обозначениях задаются выражениями
I R =Rep, R~=ReR^kZ, n-R = const. (22)
4. Приведенное исследование выясняет структуры мер деформации F Фингера и
Альманзи F-1 = g. Собственные числа с* (Ф) тензора F (щГ1-тензоре
§21]
ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
321
Альманзи) принимают постоянные значения на перечисленных поверхностях
(21)- Собственное направление представляет единичный вектор нормали к
ним; направление е2 в касательной плоскости при с2 = с3 удовлетворяет
условию (19). Конечно, с1с2с3=1; тензоры F и g положительные.
Для разыскиваемых по этим условиям тензоров F (или g) должны выполняться
условия интегрируемости-обращения в нуль шести компонент тензора Риччи.
Подлежат рассмотрению случаи
а. С! ф с2 ф с3, F = (c! - с3) е3е, [ (с2 - с3) e,e2-f с3Е, сг = (с2с3)-\
(23)
б. с3 - с3^сг, F^(c3 - с3) е,ех '-с3Е, сг = с^2,
/ г? _ / \ 1C -2 ( )
в. Cj-с3тес2, F - (с2-с3) е2е2 с3Е, с2 = с3 •
Последний случай далее не рассматривается; Эриксен доказал, что ему
соответствует или постоянный тензор F (линейное преобразование), или
некоторые тензоры, не удовлетворяющие условиям интегрируемости. Напомним
еще, что случай, когда оба инварианта /, (F), /2 (F) постоянны (Шилд и
Клингбейль), был исключен здесь из рассмотрения.
5. Для трех перечисленных семейств поверхностей векторные базисы Rs,,
R5 актуальной конфигурации и отличные от пуля компоненты единичного
тензора Е в ней определяются формулами: а) Плоскости: Ri = ii=R'S (s=
1,2,3);
Git = G22 = G33 = G11 = G22 G33 = 1, (25a)
причем i5 - единичные векторы осей декартовой системы; i1 = e1.
Р) Цилиндры:
R1=R1 = e" = e], R2= Re(J), R3=R3 = k. R2=i-e(1);
Gu = G11 = 1, G33 = G33 - 1, G22 = R2, G22 R~2, (25p)
у) Сферы:
Ri= R1 = e^-ej, R2 = 7?ee, R3 = Д sin 0eA, R2 = ^-ie0)
R3 = {R sin(c))-1 eA; (25y)
Gu = Gn - 1, G22 = R2, G33 = R2 sin2 0, G22 = "-2, G33 = (R
sin 0)~2.
6. Векторы e2, e3. Обозначив e6, es - ко- и контравариаптные
компоненты
единичного вектора е2 (чтобы избежать обозначений вида e2s, е2), имеем е2
= R^'5 = R^., Gskesek = G-sA'e4efc = 1
и поэтому в трех перечисленных случаях можно, учитывая, что e^ej - О,
е1=е1 = 0, принять
а) е2 = е2 =cos ф, е3 = е3 - sin ф;
Р) е2 = Дсо5ф, е3 = е3 = 51пф, а2 = Д_1созф;
у)е2 = Дсозф, е3 = R sin 0 sin ф, е2 = Д_1созф, e3 = (R sin в)-1 s:n ф и
представления векторов е2, е3 = е,Хе2 приводятся к виду
а) е2 = i2 cos ф-f- i3 sin ф, e3 = -i2 sin ф-Д i:i cos ф, (26а)
P) e2== R2/? cos ф+ R3 sin ф= R2R cos ф + R3 sin ф,
e3 = - R2R sin ф-f R3 cos ф = - R2/? -1 sin тр-}- R3 cos ф,
V) e2=R2R cos ф+ R3R sin 0 sin ф= R2R -1 cos ф-f R3 ^ дд q' ¦
cos ф
11
e3 = - R2R sin ф-f R3R sin 0 cos ф = - R2R _1 sin ф-f- R3 - . .
i\ sin t/
А. И. Лурье
(26p)
(26V)
322
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
Далее вплоть до п. 10 рассматривается случай простых корней схФ с2 Ф с3.
Вектор е2 подчинен условию (19), кроме того это - единичный вектор.
Поэтому
V-e, = 0,
Ve2• е2 - e2v • е2 = е?X (v Xе2) = esR5X(R" X Rft) \mek = Rmek (Vm4 -
Vk^m) = 0,
Этим дифференциальным соотношениям подчинен выбор ф в представлениях
(26). Приходим к системам уравнений
a) q1 = x1, q2 = x2, qz = x*-. cos ф |^ + sin ф |^==0,
• , <Эф . Зф .
-зтф^2+со5ф^=0,
откуда следует
0 = 3 = °' ^ = (27")
Р) ql = R, <?г = Ф. q:t = Z: "жф-^ +
этфЦ^О,
_31п^+со8ф|| = 0, || = 0, || = 0, * = *<*),
(27Р)
у) q1 = R, q2=Q, qs = A : cos ф sin 0 -^-(-sin ф ^cos 9-f- ^ ) =0,
- sin ip sin 0 -~-}-cos ф ^cos (r)+^д^ = 0,
Зф Зф " 32ф 32ф .
~зж = 0, ^^-смб; аТ~ьг> = 0, Т. =sin 0
30 ЗА ЗА 30 30 ЗА
- эта система не имеет решения. Иначе говоря, условия с±Ф сгф с3
исключают возможность существования универсальных решений для семейства
концентрических сфер. Далее поэтому рассматриваются случаи а, р. Тогда ф
зависит лишь от координаты q1 (х1 и соответственно R), постоянной на
поверхности Ф = const (плоскости, цилиндра).
7. Мера Альманзи. Ее представление записывается так
g = cr1e]e1 + c-2e2e2-f с-3е3е3 = §^Я^*, gsk = xs-xk.
Отсюда находим
^ft=cr1erR^R/5:-ei f ra_1e2-RJR/,-e2-|-c^1e3-RiRft-e3
или подробнее
gu = cf\ gn = о, gia - 0; (e2-R2)2+c;T1(e3-R2)2;
gs 3-^2 (e2 ¦ Кз)" C3 (e3-R3)a; ^23~ca e2' ^2е2 ' R3 (r)3 * R 2^3 '
R3'
так что
g=-\gsk\--gn(giig33 - gls); a): g=-l, P): (26)
По (26) приходим к таким представлениям матриц ковариантных компонент
меры Альманзи (или, что то же самое, ковариантных компонент Е в отсчетной
§2ll
ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
323
конфигурации)
fti - С11 а) О
О
?22 = с2 1 cos2 ф + е3 1 sin2 г|) g2 з - ^1 - сз^этфсовф > g23= (сг-1-^1)
sin ф cos ф g33 - cz1 sin2 ф + ciT1 cos2 ф
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed