Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(Cl, с2, С3(
Это позволяет считать /х, /2 функциями одной скалярной величины Ф /i =
/i((r)), /2 = /2(Ф); y/i = /iv(r), у/2 = /{уф (6)
- штрихами обозначены производные по Ф. Корни определяющего уравнения-
функции его инвариантов; поэтому Ф). k-\, 2, 3. Уравнениям
(1) и (3) теперь придается вид
F.V(r)",V(r). ...j(r)--!(r) . (7,
|УФ1 (уФ-уФ) ы
Первое слагаемое в (8.7) поэтому оказывается нулем; действительно,
V X(у/х• F) = у х/ iv(r) • F -- у X /{с]УФ ^ у (/{с,) X уФ лг /шуу X уФ ^
= (/lC1)/ уф \Ф / {с , \ \Ф
и уравнения (8.7) приводятся к виду
/1УФХ V- F - 0, /{уФху-F-1 = = 0, (8)
так что удовлетворяются и уравнения (8.8). Из (8) следует параллельность
векторов уФ, y-F
у-Р=а + уФ, у-Р^1 = а^1уФ. (9)
Чтобы удовлетворить остающимся уравнениям (8.9), достаточно принять, что
а+=а+ (Ф), а~ =а~ (Ф). Действительно, тогда, скажем,
yxy-F = yXa+V(r) = ya+ (Ф)ХуФ -а+' (Ф) уФхуФ = 0.
Итак, Есе условия (8.5) - (8.Р) выполнены.
2, Представление через Ф д! ад собственных векторов тензоров F и F-1. Из
этих представлений
F =с1е1е1 + с2е2е2-f с3е3е3, F1 - cf гегех -| с71е2е2 + с^1е3е3
исключается диада е3е3=Е-ехех- еге2. Получаем
F = (cj-с3) ехех-)-(с2--с3) е2е2-фс3Е,
F-1
причем по (7.7)
__ Уф Уф пи
6161 уф .уф ¦ ^
§21] ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 319
По (10) имеем
y.F = a+ (Ф) УФ = УФ-[(с1 - с'з) etet-f (сг - с3) е2е2-|-СзЕ] +
+ (И-сз) V • ел -|- (с2-с=) у • е2е2 = \7Фс! + (cj-с3) V • ел + (с2-ся) у
• е2е2,
так как уф-е^^уф по (11), а уФ-е2 = 0 по (7).
Для определения неизвестных дивергенций диад получили систему двух
уравнений
(ci - с a) V-e^-ftCa - с3) у •е2е2 = (а+ - с[) уФ,
(сГ1- c2l) v-eiej + ^J1-сз V'M2= ^а~ ) V(r)
с определителем
4 = (ci - с2) (с2-с3) (сз-сД.
Из нее при отсутствии кратных корней определяющего уравнения находим у-
е^^уФф! (Ф), V' е2е2 = уФфг (Ф)> (12)
где ipi (Ф), г|'2 (Ф) - рациональные функции си с2, c:ll с[, а+, а~. При
с2 = с3/с;, V-eie! = i|-i (Ф) уФ; ся = сл^с2, у-е2е2--=г|;2 (Ф) уФ, (13)
причем в первом случае отпадает возможность определения у-е2е2, во втором
V-eiet-
По (7), вспомнив представление (III.3.5) дивергенции диады векторов,
можно представить теперь (12) в виде
[v-ej - (уФ-уФ)'/г Фч (Ф)]е(-( е1.уе1 -0. (14)
Но векторы в! и e^vei взаимно перпендикулярны, так как по
(III.3.2)
(ei-Vei)-ei=er(verei) = y ery (ere,) = 0
и соотношение (14) осуществимо лишь при условиях
У-е^уФ-уФ)1'* фу (Ф), e,-vei = 0. (15)
По (7)
V(r) ууФ ууФ-уФ л,
уе1 = у---------л =---------г,-----------гг V(r).
(уФ-уФ)/2 (уФ-уФ)/г (уФ-уФ)-/г
так как \ (уФ-уФ) = 2ууФ- V(r)- Второе соотношение (15) оказывается
эквивалентным равенству
уф-у\?ф=у у (уФ-уФ) -(уФ-уФ)-1 (уф-ууф-уф) уФ. (16)
иначе говоря, векторы у(уФ-уФ) и уф параллельны
у (уФ-уФ)хуФ = 0. (17)
Остается вспомнить предложение теории неявных функций, что необходимыми и
достаточными условиями существования функциональной связи % (/у, /2) = 0
Между двумя функциями трех переменных /у (g1, q2, q3) и /2 (pl, р2,
q3) является обращение в нуль их якобианов по каждой паре
переменных
3)(h,h) n SXfuft) n SHfu h) n
S){qL,q2) ' SD{q2,q3) ' 3> (q3, q1)
320
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ.
В других терминах это обозначает, что градиенты этих функций у/ч,
у/2 -
параллельные векторы. Вернувшись к (17), приходим к основному
для после-
дующего построения утверждению: величина уф-уф - функция от Ф. Иначе
говоря, представление дивергенции диады V'eiei в форме (12) возможно лишь
для функций Ф (<у1, q2. q3), удовлетворяющих этому утверждению. По (15)
приходим к соотношению
у-е, =ф (Ф) фч (Ф), уФ-уФ = ф(Ф). (181
Второе соотношение (12) переписывается теперь в виде
V • е2е2 = (V ¦ е2) е2 + е2 • уе2 = <р (Ф) ф2 (Ф) ej.
Но e2-e]=0, е2-уе2-е2 = -^-е2у (е2-е2) = 0 и поэтому
уе2 = 0 (с, ф с3); (19)
это равенство отпадает при с2 = с3. Далее окажется необходимым также
представление свертки vci--Vei- Вычисляется дивергенция вектора eryei, по
(15) равного нулю. По (III.3.9) имеем
V • (er yet) = V ¦ (vel- ej) = (у • уе?) • ег + ye] • • у el = 0.
У el - • ye! = у er • yet = - (у • у el) -e^
Правая часть этого равенства далее представляется с помощью
вышеприведенных соотношений через функцию Ф; использовав (18), а также
(III.6.16), имеем
У • уе! = уу • е, = yiH (Ф) ф (Ф) = [ф! (Ф) ф (Ф)]' уФ, (у ¦ уе!)• et =
(ф^)' ф (Ф).
Этим доказывается соотношение
уех ¦ ¦ yei = - ф (Ф) [фч (Ф) ф (Ф)]' (20)
•-существенно, что эта свертка также функция от Ф.
3. Поверхности Ф = const. Было показано, что вектор нормали п = е, и
поверхностям (r) = const характеризуется свойствами (18), (20) - его
диверген ция у-n и двукратная свертка его градиента уп--уп постоянны на
этих поверхностях.
Требуемые формулы теории поверхностей собраны в (III, § 11). П->
(III.II.И) и (III.11.12)
Уп = рапа = -р\ьЦ>, у." = _6" = _2Я,
уп- • уп = р"рр&Р • • ртр66у = ь\ь^=к, (21)
где Н-средняя, К - гауссова кривизны поверхности. Итак, на поверхности Ф
= const постоянны и средняя и гауссова кривизна. Такими поверхностями
