Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 98

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 158 >> Следующая

Напряженное состояние в ^-конфигурации создается равномерно
распределенным по всей поверхности тела давлением р, так что
к = 0, f = -pN. (1)
Уравнениям статики в объеме и на поверхности в этой
конфи-
гурации
V-T = 0, N • Т = -рЫ
удовлетворяет шаровой тензор напряжений
Т = -рЕ. (2)
Мера деформации Фингера F -также шаровой тензор с ин-
вариантами
F = ц2Е, Д (F) = За2, /2(F) = 3M, /, (F) =и" и уравнение состояния
(4.3.13) приводится к виду
- р -= 2v~3 (ф0 + гДц2 + ф21Д = 2ц-1 (-щ 4- 2d2 щ +
3
2ц-1 -гг + У2 ггг + V1 (-Д- 4- дг ) (3)
*L + V*ll + V*(^ + V^
д I j д! 2 <?/з
338
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[гл. а
или в другой записи
дэ
Р(у) - 2d1 ( -+ ^ -
дэ
, о / дэ , " дэ
~ [dll " Oh
1-
(4)
Здесь р(1)--р- модуль сдвига в отсчетной неискаженной конфигурации. По
S^-критерию в форме (5.13.11) р (и) > 0 для сильно эллиптического
материала.
Потенциальная энергия в ^-конфигурации представляется по (4.16.14)
выражением
W (R)
i+p V^)dv
' ё / ,, V v
Ее представлению в ^^-конфигурации по (2.3), (2.7) и (1.12.6) придается
вид
W (R + Tjw) = Г (R) + г]Г, + т)аГ2 = W (R) + т)
+*Ш
Т- -VwME +
V-wdE
¦ т W Ш w+№v ¦w) Vw ¦ ¦ Vw^dV W5)
1 к к J
При составлении по (2.11) выражения 'Ф используются формулы /*(
F.8)=t)"/1(8), / i (F3-e) =о4/1 (е), /1(F*-e") = t;V1(e*)f [-ФоЛ
(8*)+ll3*/l (F2-82)] = -и4 + =
= Ту3 [Р+Е(у)171 И.
§
00
^ , ..12 ^ Д .. ^ I С.,2 525
+ и Ж' d'l^v2 + Jn + 6v а/.э/*-
} о -y6_^?_..L3u8_i!fL
22 a/f' л1~ dhdls' dltfla
¦ 9и4
Ж - - У'
<]Ь dl?/ д2э dhdTn'
Д _________________ 02Э о 2 д-Э
Получаем
?-= - - p'Vw- -VwT + [p (у)+/?]/, (е2) + 2у |
~2 + 4у45 +
+ ^ + 4у2 а*9
... а/1 ¦
. дгэ . п 4 д2э
FiToft "Г ' ЖГа/з ЖГЖ
а/2 )
ж
a/s
Рассматривая удельную потенциальную энергию деформации, как функцию v2
э (Л, /2, /3) = э (Зу2> Зу4> ув) "= 5 (у2)>
ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
339
имеем
da dv2
_да
д/,
= 3( ~ + 2v2~ + v4
да
Щ
d*a
,,2\2
= 9
^'4v^^v8^i4v2 i_4y6 _^!f_ j_2o4-
d!l^ dll dll+ a/1d/,+ lt' di2di.s + lv di3dix
+
+"(?+-?)
и это позволяет заменить (6) выражением
Tp\w- -VwT-j-[p (у) + р] 1г (е2) +
d2a
9 \ (dv2) yvi2
Учитывая также соотношения
0 I да . "да \
дГ2^~ дГ3)\
/1(8).
(8)
-jpSlw- -VwT + ^-p (V-w)2-j pVw- - Vw = jpl! (e)-
- - Vw- • (Vw+Vwr) = y pl\ (e) - pVw ¦ - e= ~ р1\{г) - pi x (ea),
можно придать теперь выражению второй вариации потенциальной энергии вид
4 = V(v)h (ва)+^
w^m-rav,
V
4 d2a ,4 ( да , " да
1 -1-4.
О)
р + 9 у (&'2)2+ з и (,а/2 + и2р/3
Величина ^ приобретает значение удельной потенциальной энергии в 9°х-
конфигурации (относимой к единице объема ^-конфигурации). Сравнение с
известным выражением удельной потенциальной энергии деформации линейного
упругого тела
^ЯВД+р/, (е2)
делает естественным теперь ввести в рассмотрение "приведенный коэффициент
Ляме" Я (и), наряду с выше определенным р (у)
5ф) = п+±у~^ W Р+ 9 {dv*)2
дэ
з1' \,дГг
г да
W,;
= Тр -Тр(и)+ о-П
d2a
9 (cfo2)2
Получаем
? = Я (у) /| (е) + р (у) /х (е2).
(10)
(П)
340 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
"Приведенный модуль объемного сжатия" представляется формулой
6(у) = Му) +-|р(у)==уp + • (12)
Введя в рассмотрение переменную т = ф/73 = у3, равную отношению объемов
при гидростатическом сжатии и в натуральной отсчетной конфигурации, имеем
по (3)
da йэ 2 дэ dlх дэ dl3 . дэ dl3_
dx dv2 3 V ~5/i dx d/2 dx dl3 dx
Поэтому
й2э 4 v d2s 1 da____ 4 у d2a . 1
dx2~'9 T {dv2)2~3xdx~l) ~x (<fo2)2 3xP'
Выражение k (v) приведено к виду
(13)
Представлению удельной потенциальной энергии линейно упругой среды
\ (X + 2 р.) П (е) - 2р/2 (в) = j kl\ (е) + 2р (11\ (г) - /2 (в) j =
= ^kl\ (в) - 2p/2(deve)
соответствует в гидростатически сжатой среде по (11) выражение
? = у k (у) 1\ (в) - 2р (у) /2 (dev г). (14)
Но /2(deve)<0 по (1.9.23) или (1.13.3) и Ч1-> 0 во всяком
случае для у, удовлетворяющих естественному условию
*(у).-=т^>0, g>0, (15)
выражающему, что темп роста э увеличивается вместе с ростом деформации.
Форма Чг по (8), (10), (11) приводится к виду
^ = - j pVw• • Vwr -f pi, (e2) - j pl\ (e)+ y I (y) If (e) + p/t (e2) и
no (2.10)
(c) = ?vw = X(y) I, (e) E + 2p (у)в-p (EV-w - VwT). (16)
§5] НАЛОЖЕНИЕ МАЛОЙ ДЕФОРМАЦИИ 341
Здесь были использованы формулы
/j (e2)vw = 2e = Vw + VwT, If (e)Vw -= E/j (e), (Vw-• VwT)yw = 2Vw.
Уравнения статики в объеме и на поверхности в ^^-конфигурации (1.17) и
(1.9)
V-0-0, N-0== - р N • (ЕV ¦ w - Vwг)
приводятся к виду
V • [X, (у) h (е) Е + 2р (и) е - р (ЕV • w - VwT)] - (X + р) VV • w -f
pV2w,
(17)
N• 0 = N • (Xe/j (e) + 2pe)-pN • (EV¦ w-VwT) = -pN (EV-w-VwT).
(18)
Учтено, что V-(EV-w - VwT) = 0; приходим к уравнениям равновесия линейной
теории упругости в перемещениях, в которых X, р заменены приведенными
модулями X, р, а вектор перемещения и заменен на w
(Х + р) VV-w -f py2w = 0, N • (2EV-W+ 2ре) = 0.
•Массовые и поверхностные силы отсутствуют, и по теореме Кирхгоффа о
единственности состояния равновесия в линейной теории уравнения (17) не
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed