Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Р \ \v/1) • • Vw2 = Р V^w2/) • • VwT. (15)
Действительно,
. / О \ 0 г О О 0 0
P^VwJ- -Vw2 = Po • -VwK -VW9 = Kpmqnyaw2n ---VR
= Kqnpm VqwlnVpw2m = Kpmi>n 4jFDimV#Dln = P (vwj • • Vwi.
Заменив в (15) P его представлением (11) через 0, получаем также по
(1.3.9)
0\0 Л-Q- 0
Р \У*г) • • Vw2 = у - VrT • 0 (Vwt) • • VW2 =
g ___
= Y0 (Vwt)• • VwT• VrT = Yy0(Vw,)..VwJ
и это позволяет распространить свойство взаимности на тензор 0
0 (Vwj) • ¦ Vw2 = 0 (Vw2) • • Vwj. (16)
По (4.6.1), (4.6.2) уравнения статики в объеме -конфигу-
рации имеют вид
V-P + Puk = 0, V- 0 + pk = 0. (17)
330 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
На поверхности 0х по (И) и (1.8.9)
N • 0 dO = ]///Л~ п• VrT¦ 0do = п-Р do (18)
и при "мертвых" поверхностных силах по (7)
N • 0 = - f х, n.P = -fx-^. (19)
В этой записи не исключены силы, отсутствовавшие в ^-кон-
фигурации.
Силовой тензор (2.1.16) в 7/ЭХ-конфигурации по (6), (7), (8)
представляется при "мертвых" массовых и поверхностных силах выражением
Вх = В + т!В= $$$pk(R + T]w)dy + JJf (R + i]w)dO =
v
В + ц ^
' ' V
55 5 р kw dV + 55 dO
Здесь по (2.3.1), (2.3.5)
ДО fw dO - M -Tw dO - Щ (V-T) w dV + R". T ^dV
О О V г
JJJpkwdH + JJJl-VwdH,
так что
B = 55JT-VwdH, Вт = 555 Vw'-TdV,
V' V
В-Вт = (T-Vw-Vw^-T)dV (20)
г
и в равновесной ^-конфигурации
$S$(T.Vw-Vw'.T)^ = 0. (21)
V'
Отсюда следует, что при задании "мертвых" поверхностных сил по всей
поверхности О тела налагаемое поле виртуальных перемещений t]w должно
удовлетворять этому соотношению.
При "мертвых" силах и нагружении по всей поверхности еще и равномерно
распределенным давлением (f = - pN)
В= 555 р kwdV + 55 fwdO-p 55 N-(EV-w-Vwr)RdO =
V 0 0
=-¦ SSS P kwdR+ $J N-TwdO-p 55 V-(EV.w-VwT) RdO.
§ 2] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ В '^''^-КОНФИГУРАЦИИ 331
Учитывая, что
V • (EV • w - Vwг) R - (VV • w - V • VwT) R -{- ЕV • w - Vw, VV-w -V-VwT
= 0,
55 n-tw do = 555 (v-t)w^+JSST-Vw^-
O V V
приходим к представлению
B = 5$ ^[(T + p?)-Vw-E\-w]dV,
• ¦ Г гг" <22)
В - Вт = 5 5 5 [(Т • - ^wT • Т) + р (Vw - VwT)] dV.
v
При только поверхностном давлении Т =- рЕ и как следовало ожидать
В -Вт = 0 (23)
- требование равновесия в '^'^-конфигурации не налагает ограничений на
задание поля виртуальных перемещений.
§ 2. Потенциальная энергия, определяющее уравнение в ^х-конфигурации
Удельная потенциальная энергия деформации s(vr) по (II.4.23) и (1.12)
представляется отрезком ее разложения в ряд Маклорена, включающим
слагаемые второй степени по г|
э (vRx) -э (VR -f t)Vw) =э (vr) -f т)Э0 • • VwT +
VR
10 о /о л 010.
~г"2" r)2Vwr- -э0 о • • VwT = a ^VRj-f г)Р-• VwT +у r]2VwT-• Р.
(1)
vr Vr
Потенциальная энергия системы в ^-конфигурации при "мертвых" массовых и
поверхностных силах, назовем ее здесь W (R), была определена формулой
(4.16.8)
WW = SSS3dy~SSS Pok-R^-SSf°-Rdo- (2)
V V Ot
В ^х-конфигурации этому выражению придается вид
IT(R + T1w) = ir(R) + T1iri(R) + T1ar2(R)- (3)
332 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА 1ГЛ. 8
Здесь по (1)
^ 5 5 Р- ¦ VwTdv - 55$ Рок-w dv - 55 f°- wdo, (4)
V V 0X
= y 555 VwT- -э° о • -VwTdv = Y 5 5 5 ^wT' 'Po ••Vw Tdu =
v VRVR • " VR
r,,e
V V
= HWe'VwV|/- (5)
У
Очевидно, что Wt представляет вариацию потенциальной энергии системы (2),
равную согласно принципу стационарности (§ 16) нулю, если ^-конфигурация
равновесна
= 0. (6) В другой записи формулам (5) придается вид
^=$5$ф(^ )dv, ^, = 5SS^(Vw)dK. (7)
о
Здесь Ф -квадратичная форма переменных Vw, ? -переменных Vw
ф = 1р.-VwT = 4-VwT--э0 о • • VwT, 4f = -i0--VwT, (8)
VRVR
Р и 0 линейно зависят от этих переменных. Поэтому
Р Vw Д 6Vw у = Р у Vw 7 Д Р i,6Vw) ,
0 (Vw Д SVw) = 0 (Vw) Д 0 (6Vw).
о
Операции 6V, 6V "переставимы при варьировании в (^эх-конфи-гурации.
Получаем
8Ф = -^-б(р- -VwT) =-^- [р (vw) • -V6wT + P (v8w) • -VwT] ,
2 4 y 2 = у 6(0- • VwT) = y [0 (Vw) - • V8wT Д- 0 (V6w)- • VwT],
По свойству взаимности (1.15), (1.16), приняв wt=w, w2 = 6w, получаем
отсюда
6Ф = Р--6^Т, 6Д = 0 (Vw) • • 6Vw. (9)
j2] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ В ^^КОНФИГУРАЦИИ 333
Остается вспомнить определение производной скаляра по тензорному
аргументу (II.2.7). Приходим к соотношениям
Р-Фо ¦ (r) = (Ю)
Vw
представляющим аналог уравнений состояния изотропного упругого материала
в задаче о наложении малой деформации на конечную деформацию нелинейно
упругого изотропного тела. Впрочем, формулы (10) следуют и из известных
свойств квадратичных форм -теоремы Эйлера о производной однородной
функции.
Явное выражение квадратичной формы Ч1' (Vw) сразу же следует из
представления (4.5.8) тензора 0. Учитывая равенство нулю первого
инварианта произведения симметричного тензора на кососимметричный, имеем
соотношения
8 • • VwT = 8 • • (е fiT) = 8 ' ¦г=11 (е2),
F-e-F- -Vwt = F-e-F--е = /3 (F-e-F-e) = /1 ((F-e)2)
и т. д.; получаем
? = ^ 0. .vwт = | Т- -Vw-Vw* + 2 ]/-§-{-^0/i И +
+ Ч>,Л ((F • е)2) + [&в0Ц (е) + ЪпЦ (F • в) + bjl (F2 • 8)+
+2Ъ01 1, (8)/, (F-8)+ 2§02/1 (8) I, (F2-8) + 2I}12/1 (F-e) /j (F2-e)]}.(1
