Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
радиус цилиндра в актуальной, а -в отсчетной конфигурации; через
a -D/F обозначается угол кручения на еди-
ницу длины (La = ?>/).
294 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
При ненагруженной поверхности цилиндра (р0 = 0) формулы
(9.17) для компонент напряжения преобразуются к виду
а* = -2а'/^ ^RdR, ci* = ±RoK,
R" (^)
0 о г. г>, d.9 F3 - \дэ 1 дэ
aZ-°R - 2а FR RR ^'RaFF3 OR ' Тгф~а'dR'
так как в рассматриваемом случае
Й-и*" (?'+&)¦
Постоянные аир определяются по заданию крутящего момента mz и продольной
силы Q
Ro
mz = 2л j Я*т2Ф<Н? = |^ ~R4R=^
"о
P023(P0)-J
о
Q ¦= 2л J ozR dR - 2л [э (R0) - э (0)] -
0
(йТ + II)(tm)*- И)
2я
а
(3)
о
Здесь двойной интеграл был преобразован в одинарный; через s(R0), э(0)
обозначены значения э(/1( /2) на поверхности и на оси цилиндра.
Если длина цилиндра остается неизменной, то F-- 1 и
Q , -2ш* J R- ( * + 2 ?) dR (tm) - 2лаа $ r-(*+2 dr. (5)
0 0
Цилиндр в соответствии с эмпирическим критерием (5.11.3) сжат.
При отсутствии продольной силы (торцы цилиндра свободны)
a2F3 t5 (Ro) - э (°)] = К2Р j"
о
=2^Г(ж+Цт>"="у1 (йт+Ш*'(r)' (6)
§ 11] ЗЛДЛЧЛ ЛЯМЕ ДЛЯ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА 295
откуда следует, что F- 1 имеет порядок а2. Учитывая величины лишь этого
порядка, имеем, сославшись на (3.3),
Ийт+гяЙ'Н =3<f-"(s:+t;)v=
F=L
I1
3(?-1) а2
- нуликом указывается на замену 1}, /2 их значениями 1г = =/2 = 3 в
отсчетной конфигурации. С этой степенью точности по (6)
ьД^)")- (7)
Это соотношение соответствует наблюденному Пойтингом эффекту изменения
длины проволоки при кручении, необъяснимому линейной теорией -в формулу
(7) входит не учитываемая этой теорией величина.
Для материала Муни формулы (4.1), (3), (4) при свободных торцах приводят
к соотношениям
т =9Г (г a f3-1 СП C2!F _ (qq)2 / _ яо) \
z 11 р ^1+ р ) а' p-i cl+2C2/F' 4 V Р~ '2 J' ( ^
§ 11. Задача Ляме для полого цилиндра
Применяется то же решение (9.14), в нем теперь С= 1, D = 0, ? = 0, R2 =
Ar2 + B, Ф = ф, Z = AF = 1.
(1)
Постоянная В выражается через радиусы (г0, /у) и (R", RR в отсчетной и
актуальной конфигурациях цилиндра (г0 -внутренний, гi - наружный радиус;
г? = Го (1 + 6), б > 0)
В = R2 - Аг2 = Rl - Ar\ = R\ - Аг\,
Rt-Rt = A(rt-^rl) = Abrl (2)
При Л>0 > R0 и Ri~ наружный, R0 - внутренний радиусы
в актуальной конфигурации: рассматриваемый в § 12 случай ^ < 0
представляет задачу о "вывернутом наизнанку цилиндре".
|По (9.17) и (1) касательное напряжение tz<d отсутствует, нормальные
напряжения равны
29G НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
Здесь
Ii(F) = A*?2 + ^ + A-*, /2(F) = |^-f^-M2
и имея в виду, что R dR = Аг dr, получаем
f r^____ЯП (RA A*\ _AB2(r* R2 \
dR \R2 A2r2) V г2 г ) ' г2 R \R2 A2r2) '
dl_2 a -2dR Jl (/Ч>
dR dR' dR Ar2R\R2 A2r2 j \n dl^ dl2) ' {J
Это позволяет представить aR также в виде
д д
с Г dR (г2 R2 \( А"дэ . дэ\ А f " йз ,п
or [ji -Azr2) [ A dT^dll) P° ~~ 2Гj r Zr Ro'
Ro R о
(4)
причем p0 = - csR (R0) - давление на внутренней поверхности цилиндра. Его
значение на наружной поверхности обозначается Pi = ~Or(Ri), так что
До
<уЖ)-°ит=-я§ r2$dR-
До
" f dR ( Г2 R2 \( ,2 дэ , дэ\ ,,,
= -2 -5- 02 - 75Г* Л яГ+яГ ¦ (5)
R \ R2 А2г2 j\ dR ' dli
До
Продольная сила определяется выражением R,
Q = 2л Ц RazdR -
До
г о о
- 2 пА
1аДгй!г+2|(Л 2~A*h) {dl~1Jr7*ZT3)rdr \
г" Го 3
преобразуемым по (4) и (5) после замены aR его выражением и замены
двойного интеграла одинарным к виду
{ А г' -
Q = 2nA j 1 ["й {R0) - r\aR (RJ] -f ^ j % r4 dr +
I ro
+2?(л-'-^?) (?+?*),*! (6)
o. /
$12] ЦИЛИНДР, ВЫВЕРНУТЫЙ НАИЗНАНКУ 297
формула (5) после замены R2 его выражением по (2) переписывается еще в
виде
Мад-МЩ = 2^(Л-? + |.)(1+г^)$. (7)
Г о
Уравнениями (6) и (7) определяются неизвестные постоянные А, В.
При неподвижных торцах, когда цилиндр помещен между двумя твердыми
гладкими плитами, F = A = 1 и уравнению (7) придается вид
о
Or (Я.) - о в (Я,) - В j (1 + р (/"/,)$,
<8>
причем [г(3, 3) = [г - модуль сдвига в отсчетной конфигурации. При
свободных торцах Q--0.
§ 12. Цилиндр, вывернутый наизнанку
Принимается, что в этом состоянии отсутствуют нормальные напряжения на
поверхностях цилиндра (or(R0) = or{R1) ^0), отсутствует и продольная сила
(Q = 0). Обозначив - Л=Р>0, по (11.5) имеем
Ri
dR ( г2 \ / дэ , дэ\ " m
Я \Я2 Р2/-2) V д/, +5/J ( )
Условие Q = 0 после замены da/dr в (11.6) по (11.3) приводится к виду
о U2 P2r2J 1|J dh + dlj R -
Но
= т!'(Р"-рЙ (? + ??>"• <2)
Но
После введения переменной интегрирования
1 = % (3)
Имеем
1 ^ Я2я" _ 7, , 6\
298 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
Уравнению (1) придается вид
+ = <4>
Здесь x0--=R0/r0, xJ- = Rjr1 и по (11.2)
/?S+prS = /e!+prf,
Д^ + Р = (1 + б) (jcf + p), а2 = (1+6)а2 + (36, (5)
причем 14-6 -ri/r|, 6 > 0, так что а2 > (1 -f 6) х\, х%>х1. Уравнение (2)
при этих обозначениях приобретает вид
'х2 X2
Г Р - I fpfi дэ да \d% 2 Г | -134 / дэ , s дэ \ dl
J (HlUJ ^ + (b)
4 4
Задача приведена к определению трех неизвестных х\, х\, |5 из системы
уравнений (4), (5), (6). Исследовать эту систему, не специализируя
