Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
постоянных, не зависит от р. Эти решения поэтому применимы для тензора
напряжений (3). Различие возникает ка этапе определения поверхностных
сил, реализующих рассматриваемое состояние
В универсальных решениях р, F, g зависят лишь от одной из координат
(пусть q1), а на "основных" поверхностях q1---const принимают постоянные
значения. Поэтому во избежание трудно осуществимых поверхностных сил
(которые зависели бы от q2, q3) требуется, чтобы потенциал л также
зависел бы лишь от q1. Этим существенно ограничивается применимость
универсальных решений к задачам, в которых требуется учет массовых сил.
2. Вращающийся цилиндр. Цилиндр вращается с постоянной угловой
скоростью со вокруг своей оси. В системе осей, связанных с вращающимся
цилиндром, уравнению движения придается вид уравнения статики, в которое
включены "центробежные силы" с потенциалом
В универсальном решении (9.14) полагаем Б -^0, С -1, 0-^=0, Е = 0, F -
А~1. По (9.16)
F- Л[Е + (/1-3- 1) kk], g--= Л-1[Е + (Л3- 1) kk],
Поверхность цилиндра R-~R1 (ее радиус в отсчетной конфигурации
обозначается гг) свободна от нагружения. Поэтому
az = 1 ЛрсоЦЦ - г3) + 2 (к-3 - 1) Л + Л . (7)
Постоянная А определяется условием отсутствия продольной силы. Учитывая
RdR = Ardr, имеем
я - - 2-р ш2/?2.
(5)
Л-2А + А-3, 12-=2А-1 + А2,
так что э (А, /2) - э (А) = const. По (9.17) и (3)
(6)
Т
2
(ApcoV2 + qB) Е + 2(А-3 - 1) А (|^+ А kk.
оц=-2 АрсоЦЦ - г2)
(8)
о
,304 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ (ГЛ. 7
Здесь > 0, > 0 в соответствии с эмпирическим крите-
Oil 0*2
рием (5.11.3). Поэтому Л>1-цилиндр утолщается и укорачивается.
3. Вращающийся полый цилиндр. Задача существенно усложняется. Как и в
задаче Ляме (§ 11) разыскивается двухпараметрическое решение (11.1).
Повторив вычисление § 11, приходим к формулам для нормальных напряжений
Rx
<r*=4pco*(?S-?a)-4 J r2wdR'
Ro
аФ = -^- + ^
oz-=oR + 2 (л-2-Л2^) (-^r + ^^r
так что -0 на внутренней поверхности цилиндра. В этих формулах
доп А г дэ дэ В 2 f г2 R2 \ ( дэ . дэ
dR - poiR-Br gR , dR-Ar2R[R2 A2r2) \ dh^dh
Постоянные А и В определяются условиями отсутствия нормального напряжения
на наружной поверхности цилиндра R = R, и продольной силы Q. Приходим к
двум уравнениям
ТР"'("-Л9-2 J'f (¦?--&) {#%-,+%) • <""
R1
l^RdR + 2]'RdR (А--А^l)(|L+*i|L)=o. (11)
R о R о
После введения переменной интегрирования (12.3) эти уравнения
преобразуются к виду
§16] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 305
Согласно эмпирическому критерию правая часть уравнения (12) положительна,
так что *о>4- По (12) отсюда следуют неравенства
40 + б) > 4 + ^8, 4> A, xf> А.
Следует ожидать, что при вращении полого цилиндра, как и сплошного, его
диаметры (внутренний и наружный) увеличиваются, а длина укорачивается,
иначе говоря, что Л> 1.
§ 16. Универсальные решения уравнений движения
1. Рассматривается уравнение движения несжимаемой упругой среды при
отсутствии массовых сил
- Vp + V-T?=pb. (1)
Ему сопоставляется "квазиуравновешенное движение"; оно определяется
уравнением равновесия в поле давления р (R, t)
-V/? + V-TK = 0. (2)
В параметры определяемого им вектора места R (ограничиваемся
универсальными решениями) t входит, как фиксированный параметр.
Следствием (1) и (2) является соотношение
У(р - р) -pb,
которому можно удовлетворить, предположив наличие потенциала ускорений ?
b = V?, р 1 = р - р. (3)
Здесь ? -однозначная функция координат, существующая согласно теореме
Томсона (1.14.16) в движениях с постоянной во времени циркуляцией вектора
скорости
ft R-dR = const. (4)
г
Квазиуравновешенное движение динамически возможно тогда и только тогда,
когда по определяемому в нем вектору места может быть найден однозначный
потенциал ускорений -выполнено условие (4). При этом условии тензор
напряжений определяется уравнением
Т = Р?Е + Т, (5)
причем Т - общее представление тензора напряжений, соответствующего
равновесию в момент t.
306 несжимаемый упругий материал [ГЛ. 7
2. О потенциале ускорений. Равенство (4) - необходимое и достаточное
условие существования потенциала ускорений. Достаточным является
равенство нулю циркуляции скорости, тогда движение безвихревое и
потенциальное
V х v = 0, v-=Vx^Rs - х, V-v-0, V2y = 0.
dq*
Здесь % - потенциал скоростей и по нему вычисляется потенциал ускорений ?
= V^-VvR'|C = v|i-Vv.v-v(f_^.
Была использована формула (1.10.5). Итак, при существовании потенциала
скоростей потенциал ускорений с точностью до аддитивной функции времени
представляется выражением
<6>
3. Примеры, а) Аффинное преобразование. В этом случае
R = c(/) + r-A(tf), detA^O. v = с + г- A (i) = c-f (R - с) А-1-А
и далее, обозначив ш- сопутствующий тензору А-1-А вектор, имеем (1.11.1)
V х v = V х R.A-1-A=R* X R,-(A-1-A)B!"R"R"^
= (R*XR") (А~'-А)гп = -2а>
и достаточным условием существования потенциала ? является симметричность
тензора А'1-А
w = 0: А"1-А = (А-1-А)т, AT = A"1-A.AT. (7)
Например, при деформации простого сдвига это условие не выполнено
