Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
A = E + i2i1s, А_1 = Е -i^s,
А-1-А = (Е -i2i1s)-i2i1s= i^s, 2о> = i3s^0. Необходимое и достаточное
условие определяется равенствами b = c + r-A(0 = c + (R -с) А-1-А(0,
Ат = А-1-А-Ат (8)
и потенциал ускорения представляется выражением
? - у R- A-1- A - R -ф (с -с - А-1 • A). R. (9)
§ 16]
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
307
б) Преобразование полого цилиндра в полый цилиндр, сохраняющее осевой
размер. В формулах (11.4)
#2-г2 + Л, Ф-ф, Z -z, R = e*l/r2 + A + kz
и, учитывая, что е^ефФ--= 0, имеем
v " 2R и по (4)
eR=^^Vlni?, х=о-Ain#
ЁХ_1 Л In ^ - 2 ^ 1 ^ ^ 4 Я2
?=т (Л1п^+тж) •
(10)
Вместе с тем
Л RI -П, .1 2RJI, А=2(#0#0 + #2)
и поэтому
R,
R
v RoeR' Х=Т ^0^0 Ini?2, l = ~
(R0R0 + Rl\nR*)+$Rl (1
)
в) Преобразование полого цилиндра в полый, когда осевой размер не
сохраняется. По (11.1) теперь
#2 = Аг2 + ?, Ф = Ф, Z = A~1z\ R = ^en + k4,
v = i?en + kZ==4-
4*+4(в~4в)
е" TZ k,
1
=[44в,+(в-
4)'"в+14г'
потенциал ускорений, определяемый по (4), оказывается равным
1 ( А А2
? =
+
4 V44 2Л2 ]Ri
А 1 А в-в) + (в-^в
1т(в-4-вУ +
8R2 \ А ~~ ~А
ш R + iw-T^^2-
(12)
г) Центрально-симметричное преобразование полой сферы.
По (9.22)
#3 = r3 + A, 0 = 0, А=Я;
R = #ей, v = Re^=-g^Tes,
%'
¦W <13>
и по (4)
А2
1 А
'18R* 3 R
(rr+?&•).
(14)
308
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
§ 17. Дифференциальные уравнения Лагранжа для параметров в универсальных
решениях
Уравнения (16.2) определяют тензор напряжений через мате-
риальные"координаты и входящие в представление вектора места R параметры
А, В, С и т. д., далее здесь обозначаемые р,06, и их первые и вторые
производные по времени. Дифференциальные уравнения, их определяющие,
диктуются краевыми условиями подобно тому, как получались конечные
соотношения между ними в"§§ 10-15. Но представляется, что проще ведет к
цели прием составления этих! уравнений, использующий принцип Гамильтона -
Остроградского.
Задание вектора места
R = R(<7\ q2, q3\ р") (1)
определяет представления его вариации, вектора скорости и кинетической
энергии
си 3R с ~ 3R
°R = Я-ОЦ , v= г-м"
<2>
Вспомнив также выражение вариации лагранжиана
d дХ дХ др" ~dj?
и следуя (2.24), можно теперь записать выражение принципа Гамильтона в
виде
U 'v" о, ^
В несжимаемой среде, сославшись на (1.10.18), имеем
/3=/3у.у = У.у = цаУ-^- = 0, V--^- = 0
33 г дца ар06
и слагаемое в (4)
(5)
Нет нужды включать его в выражение принципа, когда р" - независимые
параметры; отпадает необходимость вводить множитель связи. Выражению (4)
придается вид
= (з)
§18] РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРУБКИ 309
Заметим еще, что вектор ускорения и условие существования потенциала
ускорения можно представить выражениями
, dR . d2R
Ь = -7Г Ц Ч й-г р р ,
dp dp dp^ ^
d** I d2R'a-B\ _ о
vxUp^ +dp%^fAy u-
§ 18. Радиальные колебания цилиндрической трубки
Предполагается, что трубка помещена между двумя гладкими плитами, не
допускающими осевых перемещений, но не препятствующими радиальным
смещениям стенки на торцах.
В обозначениях § 11 при А =1
В = Я*-Гг-=Я1-Г1 = т-гЪ R = Re.H = Y В -f-r2 ед + кг. (1)
Параметр В -искомая функция времени; В> - г\ при любом t, в отсчетной
конфигурации В = 0. 'Вектор скорости и кинетическая энергия трубки равны
V= 2^"^еД'
Ж = ~ я/рВ21п ^==j- л/рВЧп • (2)
Потенциальная энергия деформации трубки определяется выражением *)
R'1 , г2 , . " . В2
П (В) - 2л/ j* э (1г, 12) г dr, Л -
3-
(г2 + В) г2 '
и
(3)
так что П(0) ~0. Производная П'(В) оказывается равной
п-(г) = "/в|ил,/,)|±^1Ц (1.2(11+11), (4)
Го
причем р (3, 3) = р -модуль сдвига в отсчетной конфигурации. Очевидно,
П' (0) = 0;
ГГ (В) <0 при - г% < В < 0; (5)
ГГ(В)>0, 0 < В < оо,
*) Напомним, что э-потенциальная энергия в единице объема отсчетной
конфигурации.
310
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
так что положительная функция П (В) монотонно убывает от оо до 0 при
отрицательных и монотонно возрастает от 0 до оо при положительных
значениях аргумента.
Используемое универсальное решение допускает приложение поверхностных сил
давления, распределенных по внутренней и наружной поверхности трубки. В
(17.4) теперь
и уравнение движения Лагранжа для "обобщенной координаты" В приводится к
виду
Его первый интеграл -интеграл энергии, представляется выражением
Постоянная энергии h - 0, если начальные значения В и В равны нулю. При
постоянных q0, qx и h - 0 уравнение (7) определяет движение находившейся
в покое в отсчетной конфигурации и внезапно нагруженной в момент / = 0
постоянным давлением трубки.
Далее рассматривается пример свободных колебаний (q0=ql = 0) весьма
тонкой трубки из материала^ потенциалом Муни (4.1)
Вычисление, в котором удерживается лишь первая степень б, позволяет
записать интеграл энергии в виде
В колебательном движении х заключено между корнями х0 и х, уравнения
(6)
5^ + П = я/ J [<70 (t) - q1 (0] Bdt + 2h.
(7)
о
4=1+6, 6<1; р, = 2 (С\ +С2).
г о
s rgl РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОЙ СФЕРЫ 311
Независящий от начальных условий период колебаний равен
