Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
dtf Я2 ^
1 d Я2
Я2
A* dR г2 ^ Д2г2 ' Р
ер.
(16)
Давление р, определяемое уравнением статики, оказывается равным
R2 дэ
Р-Ро + 2(Л2 - ^
Л2/-2 д/д
+ 2ff
* ^Л271-
д/, V /?°-
дэ f JT-_
' dl, \ А2г2
С2 - Р2?>2
,2 Р2
¦А2р2Ж~А2Ж
(17)
Компоненты тензора напряжений определяются формулами
"* " -л " '••дат-?-с' - R'D'
R о
дэ / /?2
аь \ л-^з"
г2 р 2
42 772 _1______________42 ±_
R 2 Я 2
(18)
°z = Gr - 2
дэ
- f л*- д/, И Р
F2
тгФ = 2
+7Ж№'+вд
Здзсэ также на внутренней R = R0 и наружной R = Rх цилиндрических
поверхностях получено равномерное распределение поверхностных нормальных
сил.
§9]
ПЕРЕЧЕНЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
29]
Постоянную В в (14) можно выразить через внутренний и наружный радиусы
г0, г, отсчетной конфигурации
В -.-Rl-Art :R!-Ar*, Rt-Rl-A(rl~r\). (19)
Для полого цилиндра по условию однозначности перемещений следует принять
С 1, ЕЛ). (20)
Уравнению неразрывности (15) теперь придается вид
AF - 1. (21)
4. Радиально-симметричное преобразование полой сферы. Оно
задается соотношениями
IE t-r .1. Н -0, А-Я, (е---=±1). (22)
В этом преобразовании
F = ( я* - -тг) eReR Jr Л Е- g = ( л - i ) e"eR + Л Е'
v-F-e" [hi
xj ft [ал
/,(F)=^ + 2^) /2(F) = ^-!-2^
Давление p и компоненты тензора напряжений равны
"/г* fe R1 дэ \ , . Г /-в - / йэ Р2 d3\dR
-я^-[дЁ+ЁШ1)Т' (23)
"о
,Г / дз , Я3 дэ \dR 1 d 02
°/г- Po+4J /уП2 (чр/] 1 р/J д. оа-Ол 2RdRRaR-
R о
(24)
Равномерно распределенные по внутренней (/^ - /?") и наружной {R-Ri)
поверхностям нормальные к ним силы представляются выражениями
t t t , * ? ^°-ceY 133 . л- дэ\ав
Та - Ро> h /о-Г^ j \д/Л г2 д/2) R '
"о
Постоянную Л мсжно определить формулой
A-.Rl-Erl^Rl-erl. (25)
5. Преобразование цилиндрической панели (Шилд, Клинг-бейль, 1966)
в цилиндрическую панель другой кривизны
13*
(R4 ы3
g Я2
2 /Н R'1 V
R U4 - j
2 и-у
~R V с4 '"V.
/2 (F) = л4 , г4 г
292
Несжимаемый упругий материал
[гл. ?
задается выражениями
R = Аг, Ф = 51пг + Сф,
Z = Dz,
R = #en + k Z; Л2С?>=-1.
(26)
Здесь
R^-Л(ед + ВеФ); R2
Dl еК г*" ^
R. Dk;
D 2 .
/4 ' к ' CR
_'к_
~D
ЯСеф (ец> - BtR), R
Всф) ДСефеФ Dkk,
' A ''R^r -г сд (e(r) 7?cw/ ~ф I д
и представления мер деформации приводятся к виду
VR = Аег (е#-
1 1 ии
Vr = т е*е, + ^ (еф - Вея) еф + -
F А2
'А2
еяе/г ¦ I- (fi2 + С2) е<1>еч- I В (е#еф -f еФея)] + D2kk, е"ея ( 1 + с2)
+ ^ ефвф " 5 (еяеф + ефе"^
kk
+ ?)2
(27)
Инварианты и физические компоненты этих тензоров постоянны
/, (F) ^ Л2 (1 + S2 + С2) + D2, Д (g) = (В2 + С2) + ± ,
но, конечно, сами тензоры F и F-1 -не постоянные тензоры. Постоянна
удельная потенциальная энергия, значит -коэффициенты определяющего
уравнения. Дивергенции V-F, V-g равны
А2
F = ^ [(1 - В2 - С2) ея +2Веф], V-g =
С2А4
V ¦ F
и определяемый уравнением статики градиент давления р представляется
выражением
Vn = - ( А2 - 1 R\ д!г
дэ
А2С2 dl,
[(1 -В2-С2) ей + 2беФ] =
др
1 др
Получаем
~dR R дФ
еФ.
Р
oR--
2 А
дэ
1 дэ
Э/, 1 А2С2д12
(1 В2 С2) 1п-^ + 2ДФ
АО
р0 + 2[Л2
дэ
1
dli А2С2 di2
дэ
дэ
Л2С2а/п
аФ=-р + 2 [A2(B2 + C2)dh
(28)
КРУЧЕНИЕ, РЛСТЯЖЕНЙЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
293
В отличие от преобразований 1-4 реализация преобразований (26) требует
распределения на поверхностях R^R0, R = Rl нормальных сил, зависящих от
Ф, и постоянных касательных сил.
В исследовании Эриксена не рассматривались тензоры F с постоянными
инвариантами.
6. Замечание. "Произволы" в решениях 1-4 соответствуют входящим в них
постоянным; поэтому ограничено число краевых задач, доступных
рассмотрению с помощью этих решений. Допускается выполнение требования
отсутствия нагружения на "основных поверхностях" или наличия на них
только равномерно распределенных нормальных напряжений. На остальных
границах приходится довольствоваться интегральным выполнением краевых
условий ("в смысле Сен-Венана"),
Значение этих решений состоит не только в их "универсальности", иначе
говоря, в представлениях общих для всех изотропных несжимаемых материалов
и поэтому пригодных для любого материала, если известна зависимость
удельной потенциальной энергии его от инвариантов меры деформации. Они
подкупают простотой, наглядностью и неожиданностью результатов,
заставляют отказаться от некоторых привычных представлений линейной
теории, сделать ненужными построения необъяснимых этой теорией явлений,
оставаясь в ее рамках.
Решения рассматриваемых ниже задач, как говорилось выше, впервые даны в
основополагающих работах Ривлина; значение выдающегося исследования
Эриксена скорее "отрицательно"-¦ показана бесперспективность поиска новых
"универсальных" решений, не включенных в перечень 1-4, дополненный
решением 5.
В последующих параграфах рассмотрены применения решений перечня 1-4 к
частным задачам.
§ 10. Кручение, растяжение, изменение диаметра круглого цилиндра
В формулах преобразования (9.14) принимается
В = 0, С= 1, Е - 0; AF=- 1;
R = V"Ar, Ф-ф + Dz, Z= Fz. (1)
Постоянная F определяет изменение длины цилиндра (L = Fl)\ V Аа = R0 -
