Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. 7
Условия (56) удовлетворяются, если ввести в рассмотрение "тензор функций
напряжений Пиола"
Ф = 1з'|3фр (а\ а1) ((3 = 1, 2) (57)
и принять
= 2pvX<I> = 2pe^ic/<^
VB да*
(причем с12 -е21 - 1, еи - с22 = 0). Итак,
Px--2a/lv iaiP -. (58)
даУ да1
Возвращаясь теперь к (55)2, имеем
и по (56)2
0 . дх(r) . . дэ дх(r) дэ
-=щ (М)
• V .а. 32а^ . . "уа д дэ
1 Xl lpa^"=,8lp '
Система двух уравнений
va д дэ
при обозначении
№'''21 (М)
г) я
QX = [О ip(?Pa = !gXi"ip - = is X i"ip - (61)
представляет уравнения статики для "тензора Пиола" QX
Приведенные формулы обнаруживают двойственность полей деформации и
напряжения. Плоское поле перемещений в материале с удельной потенциальной
энергией деформации э определяется формулами (47), а напряженное
состояние в нем-формулами
Ф1 = Ф, (а\ а2), ф2 = ф-2 (а1, а2). (63)
Если теперь ввести в рассмотрение "поле перемещений" (63) в материале с
удельной потенциальной энергией "деформации" э, то по (59) поле
напряжений в нем определится формулами (47).
Соответствие полей перемещений и напряжений оказалось возможным
представить таблицей
Материал э Материал э
Поле перемещений Поле напряжений X1, X2 Фг. ф2 фз, ф2 Xх, X2
§6]
ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
277
По (51) и (58) имеем также
откуда следуют симметричные представления
а = 2це-'7-^ з, э = 2|ie Y---(¦ - э. (64)
даудаа * даадау К '
Простейшей иллюстрацией может сложить задача в гл. 6, § 9 об изгибании
полосы в цилиндрическую панель. По (58) и формулам (6.9.6), (6.8.14) в
этом случае имеют место представления
ф1 = ,ф (a1)cos %-х2, ф2 = Ф {a1) sin у + х1
и выполняются соотношения
5ф! , Эф2 дх2 .дх1 Эф2 дф] дх1 дх2
да^'да2^- да1 ' да2 ' да1 ~да2~да} ' да2 '
причем
a a1
. , b еХ^ b a a2 , ha
^(fl)=alhf' ~2b'
§ 6. Эффекты второго порядка в задаче о плоской деформации несжимаемого
материала
1. Комплексное представление вектора перемещения D дается выражением
D (г, г) = г - 1(г, z) (1)
и в формулах (5.39), (5.40) следует провести замены
дг~ dz ' qz~ fz ' fz~ ~~dz ' dz~ dz
Далее предполагается, что c= 1 -торцы деформируемого цилиндрического тела
не смещаются в продольном направлении
(*s = a8). Тогда
^ = 2-1/д--Л- - - - (2)
дг2 dlx \дг ) дг ' дг ^ дг \^г дг дг ' '
а инвариант 1\ представляется по (5.41) выражением
7. = 2 + 4g|. (3)
При
разыскании эффектов второго порядка полагаем
U = U" + UU D = D0 + DU (4)
278
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
удерживая в последующих соотношениях квадратичные по D0 и линейные по D,
слагаемые. Получаем по (3) и (5.21) в требуемом приближении
, , vdDJLdD1 v 9(d^\ dl, ~dl,+dlt dz ' K z\dl\)il= 2
и no (2) уравнения первого и второго приближения приводятся к виду
^ = (tm)SL+dJh-_^ о, (5)
dz2 r dz dz dz
d2(J, дБ, . dD0dD0 dD, .dD, dD"dDa dDadD-0
dz2 ^ dz ^ dz dz ' dz gd dz gd dl dz ' '
Эти уравнения имеют единый вид для всех несжимаемых материалов - знание
постоянной к не требуется для определения U,, D,.
Уравнение (5)- уравнение плоской задачи линейной теории несжимаемого
материала (с коэффициентом Пуассона v-1/2). В ней (/" и D0 представляются
через две аналитические функции-потенциалы Мусхелишвили
= - j (г) + г(Ро (г) + Хо (г) +Хо (г)], ^
2[iD0 = ф0 (г) - гфо (г) -|- ф0 (г),
причем ф0(2) = Хо(2)- Эти выражения, как легко проверить, согласуются с
(5). Потенциалы'' ф0 (z), ф0 (г) определяются решением линейной краевой
задачи.
Уравнение (6)х интегрируется
^-1 + pDx = р | ^ ^ dz + ^). (8)
Далее имеем, используя также (5)2,
d2U
Далее по (6), и (5),, поскольку ----------= вещественно
dz dz
Г z г
2д^
dz dz
Г LJ dz dz J dz2 gz
¦<* [№)'+(%)¦] + (z>+§ +111't -
dDn dDn , , , . , , ,-r
+ ^ IT~dt + ф1 ^ + ф1 ^'
?6l
ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
279
После интегрирований с использованием (5)2 и учитывая, что по (7)2
дЮп " дЮ0 _ 0
dzdz2
= 0,
3z 3z2
получаем d*Ut
dzdz
- у [Ti (z) + (Pi (г)] + у И*
3D,
аДо n _ __________
3z3z ° ^ 3z3z 0
_SD3dDo dz dz .
(9)
и еще одно интегрирование по г приводит к искомым представлениям
^ = у [ф1 (г) + (z) + 'Фх (г)] + у рГ (г, г), (Ю)
нА^Т ["Pi (г) - гф! (z) - t|3i(z)] +Г (г, г), (11)
Г (г,
(12)
2. Потенциалы фх (г), ^ (г) определяются решением линейной
краевой,задачи для второго приближения. Осуществление этой программы
достаточно хорошо разработано; требующееся вычисление кропотливо.
В исходном приближении и в эффектах второго порядка напряжения
определяются по (5.38), (5.39) выражениями
1 Л2// ________
т (сел + oxi)° = 2 -± фо (г) + фо (г),
d2Un
dz2
dz dz
-2p
dDa
dz
2 (вх* ~~ ox> -f- 2hxiX2)° - 2
j fax* + ox>)1=2 ^4 = (p[ (z) + ф( (г) + p ^ dz dz
1 d2Ui - эг <7 7\
¦J (oX2 - axi + 2ixx*x*)1 = 2 = ztpi (z) + ф; (г) + p -?-2 ¦
По (5.38) или (5.30) получаем также
2фЛг) + Фо (г),
(13)
/32Р
=°А,
32D"
\3zdz 0 dzdz dD0 3D о 3z <?z
(14)
P~ P° У-р1 = ( -2
,d2[/n
dzdz
+
,cWt
3z 3z
- + 2 (p + v) -4
3Dn 3Dfl
d~z dz
(15)
3. Известно, что краевая задача о напряженном состоянии в области при
задании нагружения по ее границе может быть
280 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ (.ГЛ. 7
