Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
материал матрицы сжат в направлении е,
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
257
В нерастяжимом в трех взаимно ортогональных направлениях е1( е2, е3
материале все три собственных значения G равны 1, G = Е, деформация
отсутствует, "материал" по (1.4.23) представляет абсолютно твердое тело.
Тензор напряжений связи есть
а! потому тензор напряжений остается полностью неопределенным.
§ 2. Несжимаемый упругий материал
Этот "материал с наложенными связями" представляет наибольший интерес.
Несжимаемой с достаточным приближением можно считать резину--важнейший
объект исследований нелинейной теории упругости -этот "наиболее упругий
из упругих материалов, не поддающийся исследованию средствами линейной
теории упругости" (Трусделл).
Любой элементарный объем несжимаемого материала остается неизменным при
деформировании. По (1.8.1) и (1.4) уравнение связи имеет вид
В представлении удельной потенциальной энергии несжимаемого материала /3
=1 и для изотропного материала
Конечно, р - неизвестная наперед функция материальных координат (и
времени в динамических задачах), определяемая из уравнений равновесия
(движения), при условии несжимаемости. Аналогична ситуация в
гидродинамике несжимаемой гжидкости; в ней, как и в несжимаемой упругой
среде р-"-давление. Роль уравнения связи отходит к уравнению
неразрывности (1.14.13).
9 А. И. Лурье
V(G) = /3 (G) - 1 = О
(1)
и по (II.3.2), (1.12) Vg = /3(G)G-1 = G-1,
(2)
э(11, /2, /3) = э(/1, /2).
(3)
T = Ts + TE = -pE +2^ + 24^
(4)
причем, согласно (4.3.5),
)з(/:, /2), ф
шг *(/!,/,). (5)
258 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ, 7
При обозначении главных удлинений ох, и2, п3 инварианты мер деформации
Коши G и Фингера F представляются формулами
I1 = vl + v\ + vl, /3 = Ф2 + Фз + Ф1 = У1_2 + ^'2 + У3"2, (6)
так как в несжимаемом материале
I3=vlvtv23==\. (7)
Представление тензора напряжений (4) может быть записано и в виде
т=-''E+2;жF-2эт^F¦', ,8)
- были использованы преобразование Гамильтона - Кэли
f2 = /1f-/2e + f-1
формулы (1.9.22), а р + /2ф3 снова обозначено р.
Из уравнения связи, записанного в виде щед, = 1, следует
соотношение
&з_=0. (91
Vi Vi 1 У3
Используя его и вспомнив определение главных сил tk, имеем
fr=l ft=l v К '
Главные силы и главные напряжения ak представляются теперь формулами
. р | дэ . дэ щг /,
tk=~ щ + ak= - P + vk^;- i(10)
Уравнениям равновесия в объеме и на поверхности придается
вид
V-T = V-Ts + V-Ti, + pk = -Vp + V.Tif + pk = 0,
f = - pN + N-T?. (11)
Вариации 6R вектора места ненезависимы; по (1.5) и (2) они связываются
соотношением
6/3 = 2G-1 • VR • •SV'RT = 2VrT- • 6VRT = 2VrT- • (V6R)T-VRT=
= 2E.-V6R* = 0 (12)
- были использованы преобразования (2.8.4) и правило свертывания. .?
Вывод принципа стационарности потенциальной энергии системы никак не
связан со свойствами материала. Поэтому и для
§ 2]
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
259
несжимаемой среды этот принцип сохранит вид (4.16.8); когда р = Ро> Vg/G=
1, он представляется соотношением
81^ - 6
SSJ (э - р0к • R) dV- ^ f • R dO
L V О,
¦ 0.
(13)
Но теперь при варьировании должно быть учтено наличие связи (1).
Варьируемому функционалу придается вид
(14)
причем вариации 8R связаны соотношением (12) и по (III.3.10) 6 Ш iР {/з~
1} dV = Ш рЕ" V6RT ^ = j J J [V ¦ (рЕ • 6R) -
V V V
-Vp-8R]dI/=$$ Nj0-8RdO-JJJ Vp-6Rdl/ (15)
о, * I/
(6R = 0 на части поверхности 02, на которой заданы перемещения). Поэтому
6fl7? = 5SS SsdK-JJJ (p0k-Vp)-8R dK-JS (Np + f)-6RdO = 0.
Г V о,
(16)
Вместе с тем по (II.3.6), (4.3.4)
6 э=э0 --8VRr = 2VR-3F- -V8Rr-VRr 2VRT-VR • эг • • V8RT =
VR
= 2F - Эр • • V8Rr - • -V6RT = V.(T?-6R)-(V-T?)-8R,
555 8sdI/ = 5S N-T?-6RdO-J5S V-Tt--6RdR
V 0, V
и подстановка в (16) приводит к соотношению
(V-TB + pek-Vp)).6RdK +
+ SS (N-T?-Np-f)-6RdO = 0. (17)
о,
Из него, как ожидалось, следуют уравнения равновесия (11). В базисе
отсчетной конфигурации, продолжив (15), имеем
у Р (73 - И dv^ j ^ pn-Vrr- 8Rrfo - (Vr- Vp) ¦ 6R dv
9*
260
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
ч вместе с тем
Ш6аЛ,=Ша<* ¦ *б^т^=5И p?--fivRMw=
v v Vr v
= Ш [v.(P?-6R)-(v.pJ.fiR]dw =
JJ n-Pg-fiRdo-JJJ (vpJ-6Rdi;.
Поэтому при "мертвом" нагружении (idO - i°do)
"Ш (v-P?-Vp + p0k)-6R^ +
V
+ (п-Р? -pn-YrT -f°)-6Rdo = 0 (18)
"1
и уравнения равновесия в объеме и на поверхности отсчетной конфигурации
приводятся к виду
о о
VP? - Vp+pok = 0, f° = n • Р^-pn-Vrr. (19)
Конечно, можно получить их и непосредственным преобразо-
ванием уравнений (И). Действительно, по (2.6.2) тензор Пиола в
несжимаемой среде представляется выражением
P=Vrr-T = P?-VrTp (20)
и, сославшись на тождество Пиола (1.9.4), получаем соо о Лп00
V - Р = V - Р? -V • VrTp = V - Pf - • Vrr -- VP^ -Vp-VrT,
что и требуется.
Выражение принципа Гамильтона -Остроградского (гл. 4. § 19) для
несжимаемой среды следует дополнить слагаемым
-+ Щм/.-ОЛ',
V
преобразуемым далее согласно (15). Повторив вывод в (гл. 4. § 19)
приходим к представлению принципа выражением
h
\dt V/7-6RdK+5SpN-6RdO + 6'4(
