Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
молекулярных цепочек.
Необходимыми и достаточными условиями положительности э являются
неравенства
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ НЕСЖИМАЕМОГО ТЕЛА
265
Действительно, сумма трех положительных чисел vf, v\, vf произведение
которых равно 1, имеет минимум, когда эти числа равны и значит, каждое из
них равно 1. Итак,
vf + vl + vl - 3'^О, ог2 + г+2 + 1/3~2 - 3>0,
откуда следует, что (4)-достаточные условия положительности э, но они и
необходимы. Действительно, по крайней мере одна из постоянных, пусть С+
положительна. Приняв, что С2 < О, всегда можно было бы подобрать три
положительных числа vf, vf, v\ с произведением равным единице, чтобы
выполнялось неравенство
+ - /2'- 3 1ц 2-ф t'2 + v3 2, n ^ о
I ^2 I /l 3 vf+vt+vl ' ^
Определяемые по потенциалу Муни тензоры напряжений Коши и Пиола равны
Т = - рЕ + 2 [(Сх + /ХС2) F - С2Р],
Р = Vr*• Т- {- pG--1 + 2 [(С, + /ХС2) Е -C2G]} ¦ VR. (5)
Конечно, механические свойства многочисленных резиноподобных материалов,
весьма чувствительные к химическому составу и процессам их изготовления,
не могут быть описаны единственным потенциалом Муни. Существует большое
число других описаний, претендующих на лучшее совпадение с
экспериментальными данными в пределах тех или иных эксплуатационных
деформирований и температур.
Примером может служить потенциал Ривлина и Сондерса (Rivlin R. S.,
Saunders D. W., 1951), обнаруживших тщательными опытами зависимость
отношения от /2. Это дало
основание корректировать формулу Муни более общим соотношением
5 = Сх (/д - 3) + / (/, - 3) (/>0). (6)
Основываясь на статистическом рассмотрении поведения молекулярных цепочек
с учетом ориентирующего влияния поля напряжений, Г. М. Бартенев и Т. Н.
Хазанович (1960) предложили потенциал
s = 2(i(t;1 + t>s + t;,-3) = 2(i/1(U), U = G1/s. (7)
Его экспериментально подтвержденное по широкой программе исследований
обобщение К. Ф. Черных и И. М. Шубиной (1976) представляется выражением
э = Р [(1 +P)(ui "К v2 - 3) + (1 (3) (l>i 1 + t>21 + v I - 3)] =
= u [(1 +13) Д (U) + (1 -Р) + (U-1)] - 6р. (8)
266
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
Следует заметить, что более простой, чем для потенциалов Трелоара и Муни,
вид этой формулы даже усложняет применение этих потенциалов к решению
задач. Сославшись на (II.3.5),
(II.3.10), (7) имеем
РЕ = э0 = 2эс • VR = 4ц/х (U)o •'VR =
VR
= 2pU~1-VR = 2pOx (VR=U-0X),
так что
T? = 2pVRT-P? = 2pV=2pF1/s T = -/7E + 2PF1/,, (9)
тогда как для потенциала Трелоара T? = pF по (5); это упрощает его
использование, пока неизвестно представление F в главных осях.
§ 5. Плоская деформация несжимаемого материала
1. Векторы места г, R в отсчетной и актуальной конфигурациях задаются
в соответствии с (6.8.1)
r = b-|-i3a3, b = аЧ1 -f a2i2, R = B-f-i3m3,
B = i1x1-f i2x2, xs = ca3, (i)
причем с постоянно. Вводятся материальные координаты: ф, q2, пока не
специализируемые, и q3 = x3, так что
a" = a"(^1, q2), xa = xa(q1, q2)\ x3 = q3, a3 = -^- (2)
и как всегда греческим индексам придаются значения 1, 2. Векторные поля b
и В на плоскости определяют базисы
= ва = 1р|^, b" = ea^bp х i3, B" = e"3Bpxi3. (3)
Здесь е, ? -плоский тензор Леви-Чивита с контра- и ковариант-ными
компонентами
е"р = у=е"0, = еае = УЪеар, €а0^УВеар, (4)
( 0, а = р,
еац = еа$=\ 1, а=1, 0 = 2,
[ -1, а = 2, 0 = 1,
§5] ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА 267
причем Yb, YE - якобианы преобразований
<6)
Определяются градиенты места и по ним плоские меры деформации
VB=b"Ba, VBT = Bab", Gx-=VB-VBT-5aebabP,
Fx - VBT • VB = Ьа|3ВаВ,з, gx = F-1 = feaPB"BP.
Здесь ba&, 5"p -контравариантные, ba$, Ba|3 - ковариантные компоненты
плоского метрического тензора Е2. Инварианты плоских мер деформации
определяются формулами
Л (Fx) = /; = Ьа$Вар = GJ + G%, I\=*=GIG\, Ix( gx) = 4- (7)
72
2. В последующем преобразовании уравнений плоской задачи к комплексным
переменным в качестве материальных координат оказывается плодотворным
выбор комплексных координат ^ = 2, q2 = z, в актуальной конфигурации.
Условившись сопоставлять вектору c = c1i1 + c2i2 комплексное число
(вектор) c = c1 + t'c2, можно скалярное произведение двух векторов
представить в виде c-d = Rec<i. Это приводит к соотношениям
к Ээ , d'Q /д * д \ г , da , dt, . ( д д \ у
bl - дх1' bl ~ уд г gj) 2 дх* ' Ь*~дх*~1\дг дг)^'
так что
ъ -ь -ь = *-* ъ = ь
11 11 дх'-дх1 ' 22 дх? дх^ ' 12 2 \дх1 дх* дх1 дх? )
Перейдя к переменным г, г, получим используемые ниже формулы
A.-^2(i§+§I),
'¦¦=г(й §-§§)• ""
Потребуется еще представление определителя преобразования (г, z)-(-(а1,
а2)
208 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
3. Переходим к рассмотрению поля преобразования (1) - на плоское
векторное поле налагается перпендикулярное ему поле. Материальными
координатами служат qx, q2, q3--=x3. Векторные базисы задаются
выражениями
П = Ьх, г2 = Ь2, г3 = ; Rj = Вх, R2= В2, R3 = i3,
g=\gsk\ = -^r> G == | Gsk | = B. (10)
Тензоры градиенты места и мер деформации равны
7R = r% = b"Ba + r3R3 = VB + ci3i3, VRT = VBT + ci3i3, (n) G =
