Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Me)
V ~ о i
= 0. (21)
§3] НЕСЖИМАЕМОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО 261
Здесь -лагранжиан, равный разности кинетической и потенциальной энергий
системы
?? = 9С - И, ^=yjjjpv-vdV,
I/
П = Ш ИЛ, /2)-pok-R]dy-55f0-Rdo. (22)
V О i
Отдельным слагаемым в (21) представлена элементарная работа б'А{е) -
непотенциальных поверхностных сил
6' Л(е, = SJf-6RdO. (23)
о,
Следуя (15), можно записать (21) также в виде
ti
¦ 0 • (24)
§ 3. Эффекты второго порядка в несжимаемом упругом теле
I 0 I
При учете только квадратичных по J Vu | слагаемых уравнение связи (2.1)
по (6.10.3) выражается соотношением
00 1 f° \
$+-92+(o-(o-у/Л?2; = о (1)
и поэтому
h (F) - 3 = /, (F) - 3 - 2/j (е2) + 2D2. (2)
Инварианты /х, /2, значит и коэффициенты фг уравнения состояния,
отличаются от их значений в отсчетной конфигурации членами второго
порядка.
Уравнение состояния (2.4) после замены мер деформации по формулам (гл. 6,
§ 10) приводятся к виду
Т = - рЕ + 4 (фх + 2ф2) е (и) + 4 (фх + 2ф2) VuT • Vu + 8ф2?2 (и) =
= - рЕ + 4 (ф1 + 2ф2)°е(и) + 4 (фх + 2ф2)° VuT-Vu-f 8ф^?2 (и),
так как при принятой точности нет нужды учитывать отличие коэффициентов
фг от их значений в отсчетной конфигурации. Обратившись теперь к
(6.10.6), имеем
/,h_L9,hV> -1.......о аз°
262
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
ГГЛ. 7
и уравнение состояния с учетом всех слагаемых второго порядка приводятся
к виду
О 0 0 , д > О О
Т = - /?E+2pe(u)+2pVu-VuT - 8 ?2(и). (4)
В линейном приближении (р0-давление в этом приближении) Т = Т° (и) = -
р0Е + 2ре (и) (5)
и это соотношение должно рассматриваться совместно с уравнением связи
Ь = 1Х (е) =V-u = 0. (6)
Уравнения равновесия в объеме и на поверхности по (2.11) записываются в
виде
p.V2u + p0k - Vp, п • Т° (и) = - пр0 + 2рп • е (и) = f, (7)
так как
00 .0/0 0 \ 1/0 00 \ ,0 V-? = yV-Vvu + VuT/) = ^l4V2u + VV- uj=^-V2 (и).
Уравнение движения в объеме и уравнение связи повторяют линеаризированные
уравнения медленных стационарных движений вязкой несжимаемой жидкости
Навье -Стокса; отличие заключается в краевых условных.
Введя, подобно (6.11.1), в рассмотрение корректирующий вектор w, можно
представить с требуемой точностью тензор напряжений в виде
Т = Т° (v) + T° (w) + T' (v),
о О / 3 О \0 0
г (v) = 2pVvT-Vv-8(^-J e2(v), (8)
причем здесь
T°(w) = - p1E + 2p.s(w), р --ра + рг. (9)
Требуется еще заметить, что
о
N dO = n- VrTdo = n- (Е - VuT) do ж n- - VuTy do ,
о
так как VtC отличается от Уит слагаемым второго порядка по (1.3.9)
0 0 о
VuTVuTVrT-- Vur-(E - VuT) да VuT.
§3] НЕСЖИМАЕМОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО 263
Уравнение равновесия на поверхности может быть записано теперь в виде
N-TdO- (п - п- VvT) -Т° (v) do-f n-T° (w) do+ n-T' (v) do =
о
= [n. to (V) + n • T° (w) -f n • T' (v) - n • VvT • T° (v) ] do = f dO
и краевое условие для корректирующего вектора w представляется по (7)
уравнением
о
n-T°(w) = - прх-1-2рп-? (w) = fx,
fx = - n* (- VvT-T°(v) +T' (v)). (10)
Поэтому
5 5 (n • T°(w)-f x )do = J J J [ V• T°(w)+V ¦ (-VvT • T°(v) +T' (v))
]dv=0
o v
и уравнение равновесия в объеме приводится к виду
V-T(w) + kx = 0, kx = V- [_VvT-T°(v)+T'(v)]. (11)
Уравнение связи (1) в этом приближении будет
D (w) = V ¦ w = у /х (в2 (v)) - to (v) • to (v), (12)
так как D(v) = 0 по (6). Поэтому
00 t 0 /0 о \ , / о о о \
V-e(w) = -s- V-VVw-}-VwTJ = y VV-wy =
,о , о
= lV2w + |v
2
4-Л (8* (v))-(r)(v)-(0 (v)
и уравнению равновесия в объеме (11) придается вид
оо о
Урх + pV2w-f- pV
Л (е2 (v)) - (о (v) • to (v)
+ kx = 0. (13)
Корректирующие вектор w и скаляр определяются этим уравнением, условием
(12) и краевым условием (10). Главный вектор массовых кх и поверхностных
fx сил равен нулю и необходимым условием существования вектора w является
симметричность силового тензора
В = И! ^ fxr do = ^ QT dv, Q ¦= - VvT-T°(v)+T' (v).
V О v
(14)
264 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
О
Заметив, что Т' = Т'т, а тензоры Т° и е сонаправлены, приходим к
соотношению
В - Вт= $ S S (о • Т°+Т° ¦ й)оЬ= J J J ["# (v) х T0(v)-f-T°(v) X (c)(v)]=0,
V V
приводимому, подобно (6.11.9), к виду
Ш [t°(v) •(c) (v) - и (v) /х (t°(v))] dv = 0. (15)
V
Используя равенство
T°(v) • (о (v) = -р0(о (v) -f 2ре (v) • (о (v), li (t°(v)) = - 3p0 +
2^/1(s(v))= - Зр0, можно придать этому условию также вид
$$$[ps(v).(o(v)+p0(o(v)]cfo = 0. (16)
§ 4. Удельная потенциальная энергия деформации несжимаемого упругого тела
Наиболее распространено задание э в форме двухконстантного потенциала
Муни
э = С, (Л (G)-3) + Ca (/2 (G) - 3) =
= Сг (vf- 3) -J- С2 (t-'j2с; \-\-v з - 3), (1)
представляемого также в соответствии с (3.3) в виде
з = Т^[(1+Р)(Л-3) + (1-Р)(/а-3)] (б^ + С^ц). (2)
Здесь р -модуль сдвига при малых деформациях, f> - подлежащая определению
постоянная. Упрощенной формой потенциала Муни
а = СЛ/г- 3) (Р= 1) (3)
является "неогуков" ьютенциал, иначе называемый потенциалом Трелоара по
имени автора, получившего это представление из рассмотрения
конструктивной модели резины, как системы связанных друг с другом длинных
