Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 80

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 158 >> Следующая

vevpi/2П^Р) яаВ+2-з?ь*ветвевр =
2 V dhj ~"р 1 " d/x
= ±(W_2/°4^)^0 + 2c-24^ap. (33)
6. За независимые переменные в системе трех дифференциальных уравнений
(33) принимаются x1 = q1, x2 = q2. Искомыми функциями в ней являются U и
координаты частицы в отсчетной конфигурации аа (х1, х2). Имеем здесь
"а . да(r) _
'дха
в" i", Ь*-дха- 'и,га'
I 1" а Р> , даV да^
\ 0, а=^|3, ^ дха дх*' В
- были использованы соотношения (10), 5=1 и условие несжимаемости. По (7)
Ц = ы1 + b22 = 1 (bu + fc22) = с-2 (ftu + fc22). (34)
Уравнения (33) приводятся к виду j/cW^d4/\ _2. . Щ>х _^L_oc-2^_a
/35)
Еще одно уравнение, выражающее условие несжимаемости, представляется
получаемым по (5) соотношением
й== дд\х\ *")"]2 = ~= с*- (36)
Из выражения (27) тензора напряжений следуют хорошо известные формулы для
его компонент
J5] ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА 273
позволяющие вместо (35) придать "комплексным напряжениям" Колосова -
Мусхелишвили вид
-(tm) +<*-¦ ШШ • <з8>
, d*U д9-и 0. д*и лдЮ 0 /om
Охг - Оц +21ХХ1Хг=- ------ - 2i^-Tr-" = i-lrr=8o-2 (39)
х ' дх1 дх22 дх1дх2 дг2 dlx dzdz ' v >
причем использованы формулы (8). Входящий в эти соотношения множитель,
определяемый заданием материала, представляет по (21) функцию инварианта
1Х. По (9) формуле (36) может быть придан еще вид
д^д1 д^Щ,
- (40)
dzdz dzdz v >
позволяющий представить 1\ формулой
'!(tm)2К!!+!1Н(^'!1+<-')- <41>
Следствием (39) служит дифференциальное уравнение
д2 daX д?____ д2 дэх d? d'Q ,.
gjz dlx dz dz ~~ dz2 dlx dzdz' ' '
которому должна удовлетворять любая возможная в данном материале плоская
деформация ? = ?(z, z, с) при наличии продольного растяжения с (и при
отсутствии массовых сил).
Представление (29) главного вектора сил, распределенных на дуге контура
Г, ограничивающего рассматриваемую область, приводится к виду
P = P1 + iPi = - 2^ (43)
dz
- это краевое условие при задании поверхностных сил.
За независимые переменные могут быть приняты координаты
а1, а2 отсчетной конфигурации, иначе говоря ?, ?. Из соотношений
dz _ , _ dzdt, . dzdt, dz_^_dzd? dzdt,
dz~~ ~ d?dz + dldz' ~fz~ ~ KTz df^z и условия несжимаемости (40) получаем
df^i.dS dz l_d? az___
d? с dz ' dt,~ c dz' d?~ c dz ' dt,~ с dz'
так что по (21)
"-2(2|| + т)- <")
274
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
1ГЛ. 7
Предположив теперь, что известно решение уравнения (42)
? = /(z, г, с), (45)
рассмотрим преобразование
z = t-/(?, f, с), (46)
причем / - та же самая функция, что и в (45). Тогда по (44)
го ' dsx
инвариант II, значит для того же материала и -jj- , окажется
представленным теми же функциями от ?, ?, с, какими он был представлен
через г, г, с в исходной деформации (45). Неизмен-ность формы выражения
позволяет проверить непосредственным (хотя и громоздким) вычислением, что
преобразование (46) удовлетворяет соотношению (42), если ему
удовлетворяет (45). Это -"обратная теорема" Адкинса (J. Е. Adkins, 1958),
позволяющая находить по плоской деформации, сопровождаемой
продольным растяжением с, другую плоскую деформацию при том же с, также
совместимую с условием (42).
Двойственность полей деформации и напряжения в плоской задаче.
Соотношения, аналогичные теореме Адкинса, выполняются при плоской
деформации сжимаемого материала
я1 -я1 (а1, а2), х1 - х"- (о1, а1), х^ - са3. (47)
В выражениях меры деформации Фингера и тензора напряжений плоские тензоры
отделяются от (ЗЗ)-компонент
F=FX + i3i3c2, T = Tx+i3i3F>3 (/'"3 = 0, /а3 = 0). (48)
Здесь по (6)
0 0 2 0 дх$
FX = VBT-vB, FX =/"FX -/ое2, VB = io;ip^r, В=Ирл:Р (49)
и по (12), (16)
Тх =
(V11
- 2с Г-4-/4- /° - y-jo +'idl+J*dI3
Были использованы выражения
/^/J + c2, /2=/(r)4-с2У1, в которых 1а - инварианты Fx. Теперь, основываясь
на соотношении 9{h, /*, /s)=s(/l + Ca, ll-rllc\ /3=/"с2),
получаем
дэ дэ , _2 дэ дэ дэ ,
§5]
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
275
Это позволяет представить Тх и tяз в виде
тх - -(/" Е2+ Fx^ , P^-Lr9^, (50)
суi\ \ 2 дЧ д11 J V1% дс
так что
'1<T,%F7!(':l+2's5)+77ri' (5|)
Удельная дополнительная работа э в соответствии с гл. 4, § 17
определяется выражением
~9 = р. . VRт_ э = |/7з?гт.т. . ° R г_3 = СУ'Л11 (Т) _5
и по (51)
(52)
Из выражения тензора Пиола также выделяется его плоская часть Р = с
]СГоугт-Т = Рх + !з!яр'.>з=с^7о^Ьт + 1!з,-з') . (Tx+jgis/33) =
так что
PX_2("|vb'+/;^VB). р°-?- (53)
Обратившись теперь к представлениям тензора Пиола и градиента места
(4.17.1), (4.17.5), имеем
о дхР ~
Р-з0 , yR = i"ip^- + i3i3c=3p (54)
VR
и по определению (II.2.7) производной скаляра по тензорному аргументу
Р = РХ+ 1313/,зз = iaiP-^p + i3i31=^о + Уз ~ ,
VB
°" °_ . . . . .о дэ , . . дэ
VR = VB-|-ci3i3 = iaiP - + i3i
dc
о
так что плоские тензоры Рх и уВ оказались представимыми выражениями
Рх ~эо , VB = .;pX. (55)
VB
Уравнение статики при отсутствии массовых сил и условие существования
вектора В (условие интегрируемости) приводят к соотношениям
0 0 ООО
уРХ = у.э0 =0, уХуВ = уХзрХ = 0. (56)
VB
276
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed