Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
времени предшествующего деформирования. Не требуется и знания
последовательности, в которой материал подвергался деформированию, -
исключено изучение пластичности. Речь идет только о материалах, полностью
лишенных "памяти", не возникает вопроса об их предыстории. Такими
свойствами наделяется упругий материал.
Далее рассматриваются две ситуации. Во-первых, речь может идти о
статических только процессах -нагруженное тело нахо-
88
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. 3
дилось и продолжает оставаться в покое, так что определяющие деформацию
величины вообще не зависят от времени, но зависят только от материальных
координат
U = U (q1, q2, доопределяющее уравнение простого'материала теперь
принимает вид
T = 0XT-Jr (U)-Ox. (9)
Во-вторых, можно ограничиться рассмотрением материалов с "мгновенно
исчезающей памятью". Тензор U (t) остается зависящим от времени, но
функционал памяти $ (t, т), равный, напоминаем, нулю при t = т,
пренебрежимо мал по сравнению с первым слагаемым в (5).
Тогда по (7)
Т(*) = Охт(г)-сГ(и(0)-Ох(г). (Ю)
Материалы с уравнением состояния (9), (10) называются упругими. Теория
упругости-часть механики сплошной среды, изучающая поведение этих
материалов. Речь идет о существенно различных материалах.
Результаты, основанные на рассмотрении уравнения состояния (9)
сохраняются для всех простых материалов. В статических условиях "теории
упругости" приписывается большая общность, чем указывается в наименовании
этого предмета.
Совершенно иначе приходится трактовать содержание уравнения состояния
(10). Здесь речь идет о весьма идеализированной модели материала,
немедленно и независимо от предшествующего состояния реагирующей на
деформирование в данный момент t. Изучение функционала памяти показывает,
что такая идеализация приемлема, как "нулевое приближение", при
достаточно медленно протекающих процессах деформирования; в следующем
приближении в рассмотрение должны быть включены скорости этих процессов.
Итак, простой материал "упруг", если напряженное состояние в нем в момент
t не зависит от предыстории деформирования, а определяется деформацией в
этот момент. "Упругий материал немедленно забывает", как протекало
деформирование.
Меры деформации определяются сравнением актуальной конфигурации с
отсчетной. Это дает повод к высказыванию, что упругий материал наделен
совершенной памятью об одной единственной конфигурации - отсчетной. С
таким воззрением нельзя согласиться, так как эту конфигурацию можно
назначить произвольно, ей, вообще говоря, нет нужды приписывать особые
физические свойства. Произвол выбора ее позволяет во многих
§4]
ГРУППА РАВНОПРАВНОСТИ МАТЕРИАЛА
89
случаях упростить уравнение состояния и это дает основание предпочесть
некоторую специально выбираемую отсчетную конфигурацию.
В записях (9) и (10) уравнения состояния упругого материала заменим
ортогональный тензор 0х его представлениями
0х -и-1-VR, 0Хг - VRT- U-1. (11)
Придем к соотношению
Т--= VR^U-^cT (U)-U-1- VR- VR* (r)(U) VR. (12)
Здесь введено обозначение
Ф(и) = и-1-сГ (U)-U-1 = G-1/-Jr(G'/2).G-1/3 = (r)(G'/2). (13)
При новом обозначении
Ф (U) = Ф (G,/2) = Ч*' (G) (14)
уравнение состояния записывается еще в виде
Т = VRT-'F (G)-VR, (15)
а для тензора Пиола и энергетического тензора по (2.7.2) и (2.7. И) _
__
Р= [/"уф(и).УН = |/-|Y(G).VR, (16)
т --Ф(и) = ? (G). (17)
Напомним еще, что по (2.5) записи выражения принципа материальной
индифферентности для упругого материала можно придать вид
S (vr.o) = Ot-<f(vr).0, <#"( Vr) = О-еГ( VR • о) 0Т.
(18)
§ 4. Группа равноправности материала
Ограничения на зависимость уравнения состояния от градиента деформации,
выраженные функциональным уравнением (3.18), обусловлены соображениями
инвариантности актуальной конфигурации сравниваемых движений в
"нештрихованном и штрихованном" базисах. Отсчетная конфигурация
оставалась неизменной. Рассмотрение вопросов, связанных с ее выбором,
позволит дать некоторую классификацию простых упругих материалов (твердое
тело, жидкость) и точно определить понятие изотропии. Актуальная
конфигурация в этих рассмотрениях предполагается Неизменной.
90
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
1ГЛ. 3
1 2
Рассматриваются отсчетные конфигурации о, о; места частицы
1 2
aSlq1, q2, qs) в них задаются векторами г, г. Однооднозначная зависимость
между ними представляется равенствами
?=?(;).<.>
12 2 1 - первое определяет преобразованием->-v, второе v->-v. Набла-
операторы, определенные в этих конфигурациях, обозначаются
1 1 0 2 2 д
v = r^ (2)
1 2 2 1
и градиенты преобразований v->-v, v->-v равны
1 21212 2 12121
v-*- v: Vr - rsrs - S; v->-u: Vr - rsr5 --- S'1. (3)
k
Градиенты места VR в актуальной конфигурации теперь представляются
формулами
VR = r'R5 S• VR; VRrsRs-= S"1 VR. (4)
Уравнение состояния записывается в одном из видов
Т = <Г (vr)=#'(s-Vr)^(T (vr)^/(s-1-Vr). (5)
1 2
Здесь ST, S' - отличные друг от друга функциональные зависимости,
описывающие одно и то же напряженное состояние. Подобно этому отличаются
